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raede
Aktiv
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Mitteilungen: 133
 |  Themenstart: 2020-03-16 12:26
Hallo zusammen
Ich versuche zu zeigen, dass folgende Funktionenreihe nicht gleichmässig konvergiert.
\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\).
Ich betrachte zunächst den punktweisen Limes der Folge \(f_N = \sum \limits_{n=1}^{N}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\).
Nun:
\(\lim \limits_{N \to \infty} f_N(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}= f(x)\).
Nun überprüfe ich \(f_N(x)\) auf gleichmässige Konvergenz bzw. will ich zeigen, dass:
\(\lim \limits_{N \to \infty} sup |f_N(x) - f(x)| \neq 0 \), was dann die nicht-gleichmässige Konvergenz beweisen würde.
Das heisst, ich berechne zuerst das Supremum:
\(sup |f_N(x) - f(x)| = sup |\sum \limits_{n=1}^{N}\frac{x^2}{(1+x^2)^n} - \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}|\)
Das entspricht:
\(sup |\sum \limits_{n=N+1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}| = sup x^2 |\sum \limits_{n=N+1}^{\infty}(\frac{1}{1+x^2})^n|\).
Stimmen meine Schritte bisher? Weil bei weiterer Umformung und dem Gebrauch der geometrischen Reihe komme ich darauf, dass der lim sup der Funktionenreihe 0 ist, was ja heissen würde, dass dies gleichmässig konvergiert. Gem. Aufgabenstellung dürfte sie das nicht.
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1191
|  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-16 13:08
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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Hallo raede,
nehmen wir uns deinen letzten Ausdruck vor, $\sup \left\vert x^2\sum_{k=N+1}^\infty \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n\right\vert$. Den können wir umschreiben zu
\[\sup\left\vert\frac{x^2}{(1+x^2)^{N+1}}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(1+x^2)^k}\right\vert=\sup\left\vert\frac{x^2}{(1+x^2)^{N+1}}\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}}\right\vert=\sup\left\vert\frac{1}{(1+x^2)^N}\right\vert=1\]
Dabei ist zwar zu beachten, dass diese Umformung nur für $x\neq0$ gilt, da die darin auftauchende geometrische Reihe für $x=0$ divergiert, aber das Supremum bleibt davon unberührt. Jedenfalls ist das gesuchte Supremum 1, konvergiert also nicht gegen 0.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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raede
Aktiv
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 133
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-16 15:20
Ich habe meinen Fehler gefunden, kann aber noch nicht nachvollziehen, warum das Supremum 1 bleibt. Bzw. ist es ja 1 nur wenn x=0 ist, jedoch darf ich x=0 nicht nehmen.
Warum wird das nicht beinflusst?
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1191
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-16 16:47
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Es handelt sich ja um ein Supremum, nicht um ein Maximum. Ein Supremum muss nicht tatsächlich angenommen werden. Jeder Wert in $(0,1)$ wird angenommen, das Supremum ist dann 1.\(\endgroup\)
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