Forum:  Mathematische Physik
Thema: Partielle und totale Ableitungen
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marie20603
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Dabei seit: 27.03.2020
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Themenstart: 2020-03-27 15:59

Hallo zusammen,

wie es aussieht habe ich ein Verständnisproblem, was partielle und totale Ableitungen betrifft. In einem Buch zur analytischen Mechanik ist sind die Hamiltonfunktionen \(H(q,p) = \bar{H}(Q,P)\) gegeben, wobei \(q = q(Q,P)\) und p = p(Q,P) gilt. Nun zu dem Teil, den ich nicht verstehe:

In dem Buch steht
\(\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{\partial \bar{H}}{\partial Q} \frac{\partial Q}{\partial p} + \frac{\partial \bar{H}}{\partial P} \frac{\partial P}{\partial p} \).

Mein Problem ist, dass es für mich so aussieht, als würden hier die impliziten Abhängigkeiten \(Q(q,p)\) und \(P(q,p)\) beachtet werden. Das kenne ich aber eigentlich nur von einer totalen Ableitung. Ich dachte, das bei partiellen Ableitungen nur die explizite Abhängigkeit der abzuleitenden Funktion relevant wäre.

Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
LG Marie


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1134
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-27 17:04
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Hallo marie20603,

2020-03-27 15:59 - marie20603 im Themenstart schreibt:
Mein Problem ist, dass es für mich so aussieht, als würden hier die impliziten Abhängigkeiten \(Q(q,p)\) und \(P(q,p)\) beachtet werden.

Diese Abhängigkeiten sind hier gerade nicht implizit, sondern explizit. Es ist ja nicht die Ableitung $\frac{\partial \bar H(Q,P)}{\partial p}$ zu berechnen, sondern die Ableitung $\frac{\partial H(p,q)}{\partial p}$. Jetzt ist nunmal $H(p,q)=\bar H(P(p,q),Q(p,q))$. Wenn man also die partielle Ableitungen von $H$ nach $p$ oder $q$ berechnen will, dann muss man auf $\bar H(P(p,q),Q(p,q))$ die Kettenregel anwenden.

Ich gebe zu, dass die Konvention in dem Fall etwas verwirrend ist. Wieso sollten denn die partielle Ableitung von zwei Funktion, die eigentlich identisch sind, unterschiedlich sein? Das liegt daran, dass Physiker in der Notation auch noch implizit etwas darüber sagen, wie die Funktion mathematisch zu interpretieren ist.
Rein mathematisch gesehen sind die beiden Funktionen $H(p,q),\bar H(P,Q)$ beides Funktionen $H,\bar H:\R^d\times\R^d\to\R$ ($d$ ist die Anzahl der Raumdimensionen). Wenn man aber schreibt $H(p,q)=\bar H(P,Q)$ mit $P=P(p,q),Q=Q(p,q)$, dann meint man damit, dass aus mathematischer Sicht $H=\bar H\circ F$, wobei
\[F:\R^d\times\R^d\to\R^d\times\R^d,(p,q)\mapsto (P(p,q),Q(p,q))\] ist. Deswegen muss man bei der einen Ableitung die Kettenregel anwenden, und bei der anderen nicht. Denn im einen Fall leitete man $\bar H\circ F$, also eine Verkettung, ab. Im anderen Fall leitet man nur $\bar H$ ab, was gar nicht von $p$ abhängt.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Druckdatum: 2020-12-05 03:24