Forum:  Topologie
Thema: Einleitung zu Vektorbündeln
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Alif
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Dabei seit: 12.11.2017
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Themenstart: 2020-03-30 13:40

Hallo zusammen,

ich bin aktuell dabei das erste Kapitel des folgenden Links -
pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf - zu studieren.
Habe allerdings schon Probleme die Funktionen \(\tau\) und \(\pi\) auf den Seiten 4 und 5 zu verstehen, auch wenn ich glaube, dass mich teilweise die Graphiken verwirren und manche Sätze etwas missverständlich klingen, sind mir diese Seiten sonst eigentlich klar.
Wäre super nett, wenn sich jemand den ersten und letzten Absatz der genannten Seiten ansehen würde und mir die Räume und Funktionen nochmal erklären würde.
Danke für eure fleißige Mithilfe und für eure Antworten.

Schöne Grüße
Alif


Alif
Aktiv
Dabei seit: 12.11.2017
Mitteilungen: 145
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30 22:56

Hallo Zusammen,

ich habe mich heute nochmal an die beiden Seiten gemacht und glaube inzwischen \(\tau\) verstanden zu haben, daher würde ich anbei versuchen das an einem einfachen Beispiel zu erklären:
Sei \(\tau : T\mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 , v_x = x+v \mapsto \tau(v_x) = v\)
Nehmen wir beispielsweise \(\tau(v_x) = (0,0,1)\)
\(\Rightarrow v_x = x+(0,0,1) \in T_x\mathbb{S}^2\)   \(\forall x \in \mathbb{S}^2 : \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = 1\)
Dieser eben beschriebene Großkreis ist dann auch ein Beispiel dafür wie die Surjektivität begründet wird.
Verstehe ich \(T\mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^3 , v_x \mapsto (x,\tau(v_x))\) soweit auch richtig, passiert hier nichts weiter, außer dass \(x\) nun fixiert wird.
Leider ist mir \(\pi\) immer noch unklar, daher würde ich mich weiterhin über Erklärungen zu \(\pi\) und Kritik zu \(\tau\) freuen.
Ich wiederhole auch gerne nochmal, danke für Hilfe jeder Art.

Schöne Grüße
Alif


Triceratops
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-11 23:18

Deine Formel für $\tau$ ist in Ordnung. Für einen Tangentialvektor $v \in T_x(S^2) \subseteq x+\IR^3$ ist ganz einfach $\tau(v) := v-x$, also der in den Ursprung verschobene Vektor. (Hatcher schreibt aus irgendeinem Grund $P_x$ anstelle von $T_x(S^2)$.) Sei $T(S^2) := \coprod_{x \in X} T_x(S^2)$. Die Abbildung $T(S^2) \to S^2 \times \IR^3$, $(x,v) \mapsto (x,\tau(v))$ ist injektiv und das Bild besteht aus den $(x,v)$ mit $x \perp v$. Diese Einbettung liefert insbesondere eine Topologie auf $ T(S^2)$. Man nennt $T(S^2)$ das Tangentialbündel von $S^2$. Die Projektion $\pi : T(S^2) \to S^2$, $(x,v) \mapsto x$ hat die wesentliche Eigenschaft, dass für jedes $x \in X$ die Faser $\pi^{-1}(\{x\}) \cong T_x(S^2)$ die Struktur eines Vektorraumes hat.

Außerdem ist $\pi$ lokal trivial und damit ein Vektorbündel: Sei dazu $x \in S^2$. Wir verschieben die Tangentialebene $T_x(S^2)$ in den Ursprung, bilden also $V := T_x(S^2) - x$. Das ist eine Ursprungsebene. Es handelt sich einfach um das orthogonale Komplement von $\langle x \rangle \subseteq \IR^2$. Das Bild sieht so aus (drehe die Sphäre dabei so, dass $x$ der Nordpol ist):
 


Sei $y \in S^2$ auf derselben Seite dieser Ebene wie $x$, also im obigen Bild auf der oberen Hemisphäre $U$. Für $v \in T_y(S^2)$ sei $\pi(v) \in V$ die orthogonale Projektion auf die Ebene $V$ (im folgenden Bild grün dargestellt):
 

 
Dann ist $T(S^2)|_U \to U \times V$, $(y,v) \mapsto (y,\pi(v))$ ein Homöomorphismus, der in den Fasern linear ist.




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Druckdatum: 2020-09-20 09:46