Forum:  Mathematische Physik
Thema: Ringe und Moduln in Physik
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Tom_Bombadil
Junior
Dabei seit: 23.04.2020
Mitteilungen: 6
Aus:
Themenstart: 2020-04-23 09:52

Hallo Liebe Planetenbewohner,

ich höre dieses Semester die Vorlesung Lineare Algebra II. Unsere Themen umfassen hauptsächlich Normalformen von Endomorphismen, Ringe und Moduln.
Wir werden hier natürlich zunächst einmal die Grundlagen solcher Strukturen betrachten.
Meine Frage ist, ob es dafür Anwendungsfelder in der Physik (oder wo anders (Kryptographie ?)) gibt?

Danke für eure Antwort 😃
LG Tom Bombadil



PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2274
Aus: Wien / Leipzig
Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-23 12:38

Willkommen auf dem Matheplaneten, Tom_Bombadil!

Ring- und Modultheorie tauchen (wie die meisten anderen algebraischen Strukturen) beinahe überall in der (theoretischen bzw. mathematischen) Physik auf, aber die meisten wirklich spannenden Anwendungen sind bereits sehr fortgeschritten.

Ich kenne deinen Physik-Hintergrund nicht, aber ein paar Bemerkungen und Stichworte dazu (in der Hoffnung, dich nicht damit abzuschrecken):

Beispielsweise sind Operatoralgebren (C*- und von Neumann-Algebren) Ringe; sie tauchen bei Quantisierungen und axiomatischen Zugängen zur Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie auf. Die Darstellungstheorie von Gruppen (z.B. Symmetriegruppen) lässt sich mithilfe von Moduln über der Gruppenalgebra (ein Ring) beschreiben. Generell tauchen Ringe und Moduln in der einen oder anderen Form oft dann auf, wenn es um Darstellungen bestimmter algebraischer Strukturen geht, und solche gibt es in der Physik zuhauf. In der konformen Feldtheorie betrachtet man Vertex-Algebren und deren Darstellungen. In etwas verallgemeinerter ("kategorifizierter") Form sind Ringe und Moduln die fundamentalen Objekte in topologischer Quantenfeldtheorie. Auch in supersymmetrischen Theorien und der Stringtheorie gibt es da einiges (Stichwort "K-Theorie"), aber da weiß ich kaum etwas darüber.

Letztenendes ist ja bereits der Raum der komplex- oder reellwertigen Funktionen (z.B. auf einer Mannigfaltigkeit) ein anwendungsnahes Beispiel für einen Ring, dem man in der Physik sehr oft begegnet. Mit etwas Aufwand ließe sich wohl eine beinahe endlose Liste an Anwendungsgebieten erstellen. ;-)

Grüße,
PhysikRabe


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Tom_Bombadil
Junior
Dabei seit: 23.04.2020
Mitteilungen: 6
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-29 18:20

Hallo PhysikRabe,

danke für deine Antwort. Dann wird das jetzt wohl erstmal ein wenig Basics lernen.

😃


traveller
Senior
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2609
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-29 18:59

Hallo,

Wenn man nicht ganz so abstrakt werden will, kann man auch mal zur Festkörperphysik (Kristalle) oder Molekülchemie schielen, wo Gruppen-, Darstellungs- und Charaktertheorie zum Studium von Symmetrien verwendet werden, woraus man dann konkrete Vorhersagen über das chemische Bindungsverhalten machen kann.

Und natürlich ist Kryptographie ein Anwendungsgebiet von Algebra/Zahlentheorie und ein schönes Beispiel, wo Resultate aus der Grundlagenforschung Anwendung gefunden haben, von welchen wohl kaum jemand erwartet hätte, dass sie je nützlich sein werden 😃




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Druckdatum: 2020-11-24 12:37