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Thema: Zeit reskalieren?
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Schokopudding
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Themenstart: 2020-05-14 00:15

Hi,

ich habe die ODE $x‘=f(x)=e^{-ax}, a>0$ und meine Frage ist, ob man hier eine Zeitreskalierung vornehmen kann, sodaß man die Gleichung $x‘=e^{-x}$ bekommt.


Ich kenne das so, dass man schreibt
$x‘=g(x)f(x)=e^{-x}$ für geeignete Funktion g, also hier wohl $g(x):=e^{ax}e^{-x}$ und dann definiert man
$$ B(t):=\int_0^t \frac{1}{g(x(s)}\, ds,
$$ wobei $x$ eine Lösung von $x‘=f(x)=e^{-ax}$ ist.

Wenn man dann die Inverse von $B(t)$ mit $\beta(t)$ bezeichnet, dann sollte
$$ \tilde{x}(t):=x(\beta(t))
$$ eine Lösung von $x‘=g(x)f(x)$ sein.

Also damit hätte man zumindest schonmal, dass beide Gleichungen die gleichen Lösungskurven haben (bis auf Zeitreskalierung). Stimmt das bis hierhin?

Wie kann man jetzt die Zeitreskalierung konkret angeben, also zum Beispiel $\beta(t)$ explizit angeben?


Viele Grüße


zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-14 07:57

Bist du dir wirklich sicher, dass du nach einer reinen Zeitreskalierung suchst?

Wenn du nämlich auch $x$ reskalierst, wäre die Transformation trivial: $y=ax$ erfüllt $y'=ae^{-y}$. Also erfüllt $\tilde y(t)=y(t/a)$ die gewünschte DGL.

--zippy


Schokopudding
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-14 09:52

Hallo,

eine Reskalierung von x ist auch in Ordnung. Ich möchte nur gerne haben, dass beide Gleichungen die selben Lösungskurven (bis auf Reskalierung) haben.

Für $x'=f(x)$ und $x'=g(x)f(x)$ mit einer positiven Funktion g ist mir das klar.

Wie ist es bei Zeit- UND x-Reskalierung?

Was sind bei dir die beiden Gleichungen, die hoffentlich gleiche Lösungskurven (bis auf Reskalierung) haben? Ist mir noch nicht so ganz klar geworden.


Viele Grüße


zippy
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-14 09:59

2020-05-14 09:52 - Schokopudding in Beitrag No. 2 schreibt:
Was sind bei dir die beiden Gleichungen, die hoffentlich gleiche Lösungskurven (bis auf Reskalierung) haben?

$x'=e^{-ax}$ und $\tilde y'=e^{-\tilde y}$. Die Lösungen dieser beiden Gleichungen hängen zusammen über $\tilde y(t)=a\,x(t/a)$.


Schokopudding
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-14 10:55

Hallo,

wenn ich es richtig verstehe, macht es also für die Lösungskurven keinen Unterschied, ob ich die Gleichung $x'=e^{-ax}$ oder die Gleichung $y'=e^{-y}$ betrachte, weil Lösungen von (2) von der Form $y=ax(t/a)$ sind, wenn $x$ eine Lösung von (1) ist. Der Grund dafür ist, dass $y=ax(t/a)$ lediglich bedeutet, dass die Vektoren an jedem Punkt des Phasenraums durch den Faktor $a$ gestreckt/ gestaucht werden und $t/a$ ändert nur die Zeit, in der die Trajektorien durchlaufen werden?

Bis auf Reskalierung von Ort und Zeit, sollte das Phasenporträt also "ähnlich" aussehen, d.h. man findet eine Bijektion zwischen den Trajektorien beider Gleichungen?


Ich hoffe, ich habe das nun verstanden! :)
Viele Grüße


zippy
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-14 11:21

2020-05-14 10:55 - Schokopudding in Beitrag No. 4 schreibt:
Bis auf Reskalierung von Ort und Zeit, sollte das Phasenporträt also "ähnlich" aussehen, d.h. man findet eine Bijektion zwischen den Trajektorien beider Gleichungen?

Ja, so ist es.


Schokopudding
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27 11:55

Hallo, nochmals!

Die Zeitreskalierung ist hier also $\tau=t/a$ und die Reskalierung von $x$ ist $y=ax$.

Wenn ich also $y(t)=ax(t/a)$ habe, müsste das in den neuen Variablen doch jetzt $y(a\tau)=ax(\tau)$ sein?


Kann man die DGL jetzt umschreiben für die neuen Variablen $\tau$ und $y$? 🤫

Also ich möchte ja jetzt irgendwie nach der neuen Zeitvariablen ableiten statt wie vorher nach t.
Ich hoffe, es ist klar, was ich meine.

Viele Grüße




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Druckdatum: 2020-11-27 01:29