Forum:  Eigenwerte
Thema: Jordansche Normalform und Polynome
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LamyOriginal
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Themenstart: 2020-06-30 20:53

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Sei $A \in M_{3,3}(\mathbb{KK})$ eine nilpotente Matrix vom Rang 2.
Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A.

Ich weiß nur, dass auch $J \in M_{3,3}(\mathbb{K})$ sein muss, also dim(J)=3 und wegen der Ähnlichkeit auch Rang(J)=2 gelten muss, also die Summe der Ränge der Jordanblöcke muss 2 sein. Außerdem weiß ich, dass ein Eigenwert 0 sein muss, da dimA>rangA.
Nun weiß ich leider weder, was die anderen Eigenwerte sind, noch wie groß die jeweiligen Jordanblöcke sind bzw wie viele es gibt...

Außerdem habe ich noch eine Frage:
bei einer anderen Aufgabe habe ich zwei Eigenwerte $\lambda_1, \lambda_2$ gegeben und muss alle Möglichkeiten der Jordanschen Normalform für eine Matrix $A \in M_{4,4}(\mathbb{K})$ angeben inkl. charakteristisches und Minimalpolynom.
Nun meine Frage: was genau ist der Unterschied?

Beim Minimalpolynom bedeutet ja z.B. (ich nehme jetzt eine Matrix größerer Dimension) $(x-4)^3$, dass für den Eigenwert 4 ein 3-er Block der größte Block für diesen Eigenwert ist. Aber was, wenn es noch einen 2-er Block zum Eigenwert 4 gibt?
Und beim charakteristischen Polynom muss ich doch noch die Dimension des Kerns jedes Eigenwerts berechnen für Größe der Blöcke, oder? Die Potenz bei $(x-4)^3$ z.B. sagt mir nur, dass der Eigenwert 4 3-mal in der Diagonalen von J vorkommt...

Wie lese ist denn das charakteristische und Minimalpoylnom aus der Jordanschen Normalform ab?
Hilfeeeeeee


Vercassivelaunos
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-30 21:53
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Hallo LamyOriginal,

du kannst zeigen, dass nilpotente Endomorphismen nur einen Eigenwert haben, nämlich 0. Damit und mit dem Rang kannst du die JNF aufstellen.

Zu deiner zweiten Frage: Das charakteristische Polynom einer Matrix ist ja $\det(XI_n-A)$. Wenn du $A$ bereits in JNF gebracht hast, dann handelt es sich bei $XI_n-A$ um eine untere Dreiecksmatrix (oder obere, je nach Konvention). Deren Determinante ist leicht zu berechnen.
Und fürs Minimalpolynom hast du deine Frage im Prinzip schon beantwortet: Der Exponent von $(X-\lambda)$ ist einfach die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\lambda$. Das liegt daran, dass die Jordanblöcke im wesentlichen voneinander unabhängig interagieren. Wenn du beispielsweise eine JNF $M$ mit den Jordanblöcken $J_1,\dots,J_n$ hast, dann besteht $(M-\lambda I_n)^k$ aus den Blockmatrizen $(J_1-\lambda I_n)^k,\dots,(J_n-\lambda I_n)^k$. Wenn der Faktor $(X-\lambda)^k$ im Minimalpolynom bereits den größten Jordanblock zum Eigenwert $\lambda$ zu 0 macht, dann macht er auch alle kleineren Jordanblöcke zu 0. Und das kleinste $k$, das diese Eigenschaft hat, ist gerade die Größe des größten Jordanblocks. Entsprechend muss der Exponent des Terms $(X-\lambda)$ gerade die Größe des größten Jordanblocks sein. Beispielsweise ist das Minimalpolynom von

\[\matrix{2&0&0\\1&2&0\\0&0&2}\]
einfach $(X-2)^2$, denn der größte Jordanblock zum einzigen Eigenwert 2 hat die Größe 2.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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LamyOriginal
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02 15:34
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2020-06-30 21:53 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo LamyOriginal,

du kannst zeigen, dass nilpotente Endomorphismen nur einen Eigenwert haben, nämlich 0. Damit und mit dem Rang kannst du die JNF aufstellen.

Zu deiner zweiten Frage: Das charakteristische Polynom einer Matrix ist ja $\det(XI_n-A)$. Wenn du $A$ bereits in JNF gebracht hast, dann handelt es sich bei $XI_n-A$ um eine untere Dreiecksmatrix (oder obere, je nach Konvention). Deren Determinante ist leicht zu berechnen.
Und fürs Minimalpolynom hast du deine Frage im Prinzip schon beantwortet: Der Exponent von $(X-\lambda)$ ist einfach die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\lambda$. Das liegt daran, dass die Jordanblöcke im wesentlichen voneinander unabhängig interagieren. Wenn du beispielsweise eine JNF $M$ mit den Jordanblöcken $J_1,\dots,J_n$ hast, dann besteht $(M-\lambda I_n)^k$ aus den Blockmatrizen $(J_1-\lambda I_n)^k,\dots,(J_n-\lambda I_n)^k$. Wenn der Faktor $(X-\lambda)^k$ im Minimalpolynom bereits den größten Jordanblock zum Eigenwert $\lambda$ zu 0 macht, dann macht er auch alle kleineren Jordanblöcke zu 0. Und das kleinste $k$, das diese Eigenschaft hat, ist gerade die Größe des größten Jordanblocks. Entsprechend muss der Exponent des Terms $(X-\lambda)$ gerade die Größe des größten Jordanblocks sein. Beispielsweise ist das Minimalpolynom von

\[\matrix{2&0&0\\1&2&0\\0&0&2}\]
einfach $(X-2)^2$, denn der größte Jordanblock zum einzigen Eigenwert 2 hat die Größe 2.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Vielen vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung! :)
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Druckdatum: 2020-09-27 02:10