Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Unabhängig und identisch verteilt vs. abhängig und identisch verteilt
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MAlipe
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Themenstart: 2020-07-01 18:49

Hallo zusammen.

1) Sei $X_1, \dots, X_n$ unabhängig und identisch verteilt (iid). Oft lese ich in dem Zusammenhang, dass $E(X_i)=E(X_1)$ bzw. $\frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n X_i]=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_1) =\frac{1}{n}n E(X_1)=E(X_1),$ da wir iid haben. Aber eigentlich reicht doch dafür die "identisch verteilt" Argumentation richtig? Selbst wenn die $X_i$'s abhängig wären, würde $E(X_i)=E(X_1)$ gelten?

Da wo die Unabhängigkeit/Abhängigkeit eine Rolle spielt, ist, wenn man die Summe aus der Varianz rausziehen möchte:

$Var(\sum_{i=1}^n X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_i) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov(X_i,X_j).$
Aber auch hier würde aufgrund der "identisch verteilt" Eigenschaft wieder
$\sum_{i=1}^n Var(X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_1)= n Var(X_1)$ gelten.

Habe ich das richtig verstanden oder ist irgendwo ein Gedankenfehler?

2) F sei die Verteilungsfunktion der X's.
Sind dann die X's identisch verteilt?




Kampfpudel
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-01 20:01

Hallo MAlipe und Willkommen!

2020-07-01 18:49 - MAlipe im Themenstart schreibt:

1) Sei $X_1, \dots, X_n$ unabhängig und identisch verteilt (iid). Oft lese ich in dem Zusammenhang, dass $E(X_i)=E(X_1)$ bzw. $\frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n X_i]=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_1) =\frac{1}{n}n E(X_1)=E(X_1),$ da wir iid haben. Aber eigentlich reicht doch dafür die "identisch verteilt" Argumentation richtig? Selbst wenn die $X_i$'s abhängig wären, würde $E(X_i)=E(X_1)$ gelten?


Ja, alles richtig.

2020-07-01 18:49 - MAlipe im Themenstart schreibt:

Da wo die Unabhängigkeit/Abhängigkeit eine Rolle spielt, ist, wenn man die Summe aus der Varianz rausziehen möchte:

$Var(\sum_{i=1}^n X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_i) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov(X_i,X_j).$
Aber auch hier würde aufgrund der "identisch verteilt" Eigenschaft wieder
$\sum_{i=1}^n Var(X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_1)= n Var(X_1)$ gelten.


Auch das ist richtig. Du kannst aber nur \(Var(\sum_{i=1}^n X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_i)\) folgern, wenn die \(X_i\) paarweise unkorreliert sind (was ja insbesondere dann der Fall sind, wenn sie paarweise unabhängig sind und das ist wiederum insbesondere dann der Fall ist, wenn \(X_1,..., X_n\) unabhängig sind).

2020-07-01 18:49 - MAlipe im Themenstart schreibt:

2) F sei die Verteilungsfunktion der X's.
Sind dann die X's identisch verteilt?


Die \(X_i\) sind gleichverteilt genau dann, wenn die jeweilige Verteilungsfunktion bei alle gleich ist, also ja


MAlipe
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Dabei seit: 01.07.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01 21:17

Hallo Kampfpudel,

vielen Dank für deine Antwort und die Erklärungen! Jetzt fühle ich mich sicherer bei dem Thema.




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Druckdatum: 2020-09-20 10:41