Forum:  Differentialrechnung in IR
Thema: Ableitung des arcsin in einer Verkettung
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Nailimixam
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Dabei seit: 02.07.2020
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Themenstart: 2020-07-02 12:35

Moin moin,

Im Zuge einer Aufgabe will ich einen recht langen Term ableiten, der sehr vereinfacht so aussieht:
\(arcsin(f(x)g(x))\)

Dank Wolfram|Alpha -god bless- konnte ich in Erfahrung bringen, dass ich zum einen falsch gerechnet habe und, viel wichtiger, mich irgendwo böse verrechnet haben muss.

Computer sagt, dass es ca. so aussehen muss:
\( \frac{d}{dx}arcsin(g(x)f(x)=\frac{f'(x)g(x)+g'(x)f(x)}{\sqrt{1-f(x)g(x)}}\)

Während ich nur auf folgendes Ergebnis komme:
\(\frac{d}{dx}arcsin(g(x)f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-f(x)g(x)}}\)

Was sich schon rein intuitiv falsch anhört. Ich bin wiefolgt dahin gekommen:
\(sin(arcsin(g(x)f(x))=f(x)g(x)\)

Impliziertes ableiten:
\(cos(arcsin(f(x)g(x)))arcsin'(f(x)g(x))*(f'(x)g(x)+g'(x)f(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\\
arcsin'(f(x)g(x))=\frac{1}{cos(arcsin(f(x)g(x)))}\\
arcsin'(f(x)g(x))=\frac{1}{\sqrt{1-sin(arcsin(f(x)g(x)))}}\\
arcsin(g(x)f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-f(x)g(x)}}\)

Ich weiß, dass ich einen Fehler gemacht haben muss, mir ist leider nur nicht klar wo...


Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4637
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02 12:46
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Das ist einfach erklärt: wenn du \(\arcsin'(f(x)g(x))\) schreibst, dann steht das ja für die komplette Ableitung dieses Terms. Die (innere) Anwendung der Kettenregel auf der linken Seite ist daher falsch, und wenn du die weglässt kommt genau das gleiche heraus, als wenn man das ganze von vornherein per Kettenregel angeht, und wie es Wolfram Alpha richtigerweise anzeigt.

EDIT: und natürlich fehlt dem Produkt der beiden Funktionen unter der Wurzel ein Quadrat, das hatte ich ganz übersehen. Siehe dazu den folgenden Beitrag.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]
\(\endgroup\)

MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2425
Aus: Werne
Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-02 13:22

Ergänzend zu dem, was Diophant schon gesagt hat, beachte bitte außerdem, dass im Nenner unter der Wurzel der Term $f(x)\,g(x)$ quadriert werden muss, denn die Ableitung des Arkussinus ist $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$.

Ciao,

Thomas


Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 53
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-02 13:33

2020-07-02 12:35 - Nailimixam im Themenstart schreibt:
\(\arcsin(f(x)g(x))\)
[Schreibweise korrigiert]

Computer sagt, dass es ca. so aussehen muss:
$\frac{d}{dx}\arcsin(g(x)f(x))
=\frac{f'(x)g(x)+g'(x)f(x)}{\sqrt{1-(f(x)g(x))^2}}$
[Schreibweise korrigiert und fehlende Klammer ergänzt und fehlendes Quadrat ergänzt]

Ist doch völlig klar, da $\frac{d}{dx}\arcsin(x)
=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, betrachte

$\frac{d}{dx}\arcsin(u(x))
=u'(x) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-(u(x))^2}}$   ("Kettenregel").

Damit kannst Du den Fall $u(x)=f(x)\cdot g(x)$ direkt hinschreiben.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.]


Nailimixam
Neu
Dabei seit: 02.07.2020
Mitteilungen: 2
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-02 14:23

Vielen Dank erstmal,

Ohmann, hab mir schon gedacht, dass dort der Hund begraben liegt, konnte mir leider nicht erklären warum.
Danke auch für den Hinweis von Monthy und Wario, hab beim Übertragen echt geschlampt. ^^'




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Druckdatum: 2020-09-19 20:53