Forum:  Mathematische Physik
Thema: Satz von Gauß nutzen, um Beschleunigung zu ermitteln.
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psyphy
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Themenstart: 2020-07-07 15:07

Hallo zusammen, ich bearbeite folgende Aufgabe und habe mit einem bestimmten Teil Schwierigkeiten:

Es sei $\vec{F}$ auf eine Probemasse $m$ im Feld einer Masse $M$ mit Massendichte $\rho(\vec{r})$ gegeben durch $\vec{F}(\vec{r})= m\vec{g}(\vec{r})$ und Beschleunigung $\vec{g}(\vec{r}) = \nabla \phi (\vec{r})$ folgt der Gleichung $\textrm{div } \vec{g}(\vec{r}) = -4\pi \gamma\rho(\vec{r})$.
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Jetzt soll der Satz von Gauß genutzt werden, um $\vec{g}(\vec{r})$ für eine Kugel mit Radius $R$ homogener Massendichte $\rho(\vec{r})= \rho_0$ zu bestimmen. Dafür sollen wir $\vec{g}(\vec{r})= g(r)ê_r$ nutzen und über ein kugelförmiges Integrationsgebiet mit Radius $r_0$ intergrieren. Als Hinweis wurde angemerkt, die Fälle $r_0 ><R$ zu betrachten.
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Ich habe besonders Schwierigkeiten, $\vec{g}(\vec{r})= g(r)ê_r$ richtig zu verstehen. Kann mir jemand den Ausdruck erklären? Da man darüber ja integrieren soll und somit auch relativ leicht durch Satz von Gauß und die Identität das andere Integral folgt, denke ich das sollte die Aufgabe für mich verständlich machen.


MontyPythagoras
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-07 16:07

Hallo psyphy,
$\vec{g}(\vec{r})= g(r)ê_r$ besagt einfach nur, dass die Beschleunigung $\vec g$ am Punkt $\vec r$ parallel zu $\vec r$ ist und der Betrag der Beschleunigung nur vom Betrag $r$ abhängig ist. Der Betrag ist also $g(r)$, und der Richtungsvektor ist gleich $ê_r$. Simpel ausgedrückt: es spielt keine Rolle, wo man sich auf der Kugel befindet, die Beschleunigung hängt nur vom Abstand vom Kugelmittelpunkt ab, und zeigt in die Richtung desselben.

Ciao,

Thomas


psyphy
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Dabei seit: 27.04.2019
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07 16:22

Hallo MontyPythagoras,

vielen Dank für die Antwort, heißt das, ich kann $g(r_0)$ aus dem Integral rausziehen und dann nur noch das Integral über die Kugeloberfläche evaluieren was mir  $g(r_0)*4 \pi r_0^2$ liefern würde?


MontyPythagoras
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-08 12:58

Hallo psyphy,
ja. Beachte aber, dass es eine Unstetigkeit gibt beim Übergang von $r_0<R$ zu $r_0>R$. Innerhalb der Kugel mit Radius $R$ ist die Dichte $\varrho_0$, außerhalb davon ist sie null.

Ciao,

Thomas




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Druckdatum: 2020-09-19 00:48