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Thema: Was bedeutet "linear unabhängig modulo"?
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IVmath
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Themenstart: 2020-07-10 14:14

Hallo,

könnt Ihr mir bitte erklären, was "linear unabhängig modulo" bedeutet?

Nehmen wir z. B. die Erklärung in Wikipedia: Komplementärbasis - Alternative Formulierung.

Warum ist wichtig, bei der Betrachtung der linearen Unabhängigkeit durch das "modulo $U$" mit anzugeben, dass $0\in U$ ist? Kann man dort auch das "modulo U" weglassen?

Vielen vielen Dank.



DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 306
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-10 15:21

Hallo IVMath,

nein, das "Modulo $U$" kann man an der Stelle im Wikipediaartikel natürlich nicht weglassen. Vektoren aus $V$, die linear unabhängig sind, müssen nicht auch linear unabhängig modulo $U$ sein.

Ein Beispiel: Betrachte den Vektorraum $V=\mathbb{R}^2$ und darin den Unterraum
\[ U=\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle = \{ \begin{pmatrix} a \\ a \end{pmatrix} \in V | a \in \mathbb{R}\}. \] Jetzt betrachten wir die folgenden beiden Vektoren aus $V$: $w_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Diese sind natürlich linear unabhängig, aber nicht linear unabhängig modulo $U$: Betrachte $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \in U$ und $a_1=a_2=1$. Dann ist $v=a_1 w_1+a_2 w_2$. Wenn die beiden Vektoren linear unabängig modulo $U$ wären, müsste also $v=0$ und $a_1=a_2=0$ folgen, aber das ist natürlich nicht der Fall.

Gruß,
David


IVmath
Aktiv
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 540
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 16:20

Aha. So ungefähr habe ich jetzt verstanden, was es damit auf sich hat. (Bin kein Mathematiker und kein Student.)

Vielen vielen Dank.




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Druckdatum: 2020-09-20 09:43