Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung
Thema: Differenzierbarkeit, Kurve
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Wasmachichhiernur
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Themenstart: 2020-07-10 18:05

Hallo,
bin bei der folgenden Aufgabe nicht weitergekommen. Wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Viele Grüße






Also für die a) hab ich mir folgendes überlegt:
$\alpha:(-\epsilon,\epsilon) \rightarrow G$, $ \alpha(t)= x_0+tv$ würde die gewünschten Eigenschaften mit $\alpha(0)=x_0$ und $\dot{\alpha(0)} = v$ erfüllen. Allerdings müsste man wahrscheinlich noch zeigen dass $x_0 +tv \in G$ liegt $\forall t \in (-\epsilon,\epsilon)$.

Bei der b) hab ich leider keine richtige Idee wie man vorgehen sollte.


Kampfpudel
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-10 19:24

Hey Wasmachichhiernur,

die a) sieht bis hierhin soweit okay aus, es ist aber sogar \(\alpha'(t)=v\) für alle \(t \in (-\epsilon , \epsilon)\), nicht nur für \(t=0\).
Bedenke, dass \(G\) eine offene Menge ist (was bedeutet das?) und \(x_0 \in G\) gilt. Überlege dir, wie du nun \(\epsilon >0\) wählen musst, damit \(x_0 + tv \in G\) für alle \(t \in (-\epsilon , \epsilon)\) gilt.

Bei b) fehlt noch ein \(D\) auf der rechten Seite, also \(D(f \circ \alpha)(0)\). Falls bekannt, wende auf die rechte Seite die Kettenregel an


Wasmachichhiernur
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 19:33

Hey  Kampfpudel,
da $G$ ein Gebiet ist, ist $G$ auch insbesondere offen. Für eine offene Menge gilt, dass es für jedes x, ein $\delta > 0$ gibt s.d. $B_{\delta} (x) \subseteq G$ ist. Wählt man $\epsilon < \delta$, dann ist $x_0+tv \in B_{\delta} (x)$ und somit auch in $G$.


Wasmachichhiernur
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10 19:42

und zur b)
$D(f \circ \alpha(0))= D(f(\alpha(0)) \cdot D\alpha(0) = Df(x_0) \cdot v$

Viele Grüße :)


Kampfpudel
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-10 20:10

2020-07-10 19:33 - Wasmachichhiernur in Beitrag No. 2 schreibt:
Hey  Kampfpudel,
da $G$ ein Gebiet ist, ist $G$ auch insbesondere offen. Für eine offene Menge gilt, dass es für jedes x, ein $\delta > 0$ gibt s.d. $B_{\delta} (x) \subseteq G$ ist. Wählt man $\epsilon < \delta$, dann ist $x_0+tv \in B_{\delta} (x)$ und somit auch in $G$.

Das stimmt, wenn \(|v|=1\) gilt. Wenn \(|v|>1\) müsstest du \(\epsilon\) ein klein wenig anders wählen.

Die b) stimmt so, aber noch ein Hinweis (auch wenn dieser etwas pingelig ist):
Dort sollte am Anfang schon \(D(f \circ \alpha)(0)\) stehen statt \(D(f \circ \alpha(0))\).
Der Ausdruck \(D(f \circ \alpha)(0)\) sagt, dass du erst die Funktion \(f \circ \alpha\) ableitest und anschließend \(0\) einsetzt, der Ausdruck \(D(f \circ \alpha(0))\) sagt aber, dass du erst(!) die \(0\) in \(\alpha\) einsetzt, dann mit \(f\) verknüpfst und du anschließend die Konstante \(f \circ \alpha(0)\) ableitest.
Analoges gilt auch für den Ausdruck \(D(f(\alpha(0))\). Dort sollte \(Df(\alpha(0))\) stehen, da du ja \(f\) ableitest und anschließend \(\alpha(0)\) einsetzt.




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Druckdatum: 2020-09-19 19:54