Forum:  Matrizenrechnung
Thema: Beweis Assoziativgesetz Matrixmultiplikation
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X3nion
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Themenstart: 2020-07-13 18:31

Hallo zusammen!

Der Beweis zu folgendem Satz ist mir nicht ganz klar:

Sei $A$ eine $(m\times n)$-Matrix, $B,C$ seien $(n\times p)$-Matrizen, $D$ eine $(p\times q)$-Matrix und $\lambda\in F$.
Dann gilt:
A(BD) =(AB)D


Beweis:
Es gilt

$A(BD) =\left(\sum\limits_{j=1}^n a^i_j\left(\sum\limits_{k=1}^pb^j_kd^k_l\right)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le l\le q}} = \left(\sum\limits_{k=1}^p\left(\sum\limits_{j=1}^n a^i_jb^j_k\right)d^k_l \right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le l\le q}}\\ =(AB)D.$

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Nun: Schreibe ich $\sum\limits_{k=1}^pb^j_kd^k_l$ aus, so sehe ich, dass man die jeweiligen Terme auch anders anordnen kann.
Gibt es eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, ohne die "Pünktchenschreibweise" anzuwenden?
Und würde man dies auch per Induktion beweisen können? Falls ja, nach welcher Variable?

Wie immer wäre ich euch für eure Antworten sehr dankbar!

VG X3nion


ligning
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-13 19:45

Hallo,

das ist eigentlich nur eine Anwendung des Distributivgesetzes, gefolgt von einer Vertauschung der Summationsreihenfolge, gefolgt von einer weiteren Anwendung des Distributivgesetzes. Diese Bestandteile kann man bei Zweifeln gerne zur Übung per Induktion beweisen.


X3nion
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 23:33

Guten Abend ligning und vielen Dank für deine Tipps!

also der erste Schritt

$\left(\sum\limits_{j=1}^n a^i_j\left(\sum\limits_{k=1}^pb^j_kd^k_l\right)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le l\le q}} = \left(\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{k=1}^p a^i_jb^j_kd^k_l \right)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le l\le q}}$

ist klar, eine direkte Anwendung des Distributivgesetzes, der Induktionsbeweis wäre nicht schwer.
Beim Induktionsbeweis des nächsten Schrittes hätte ich eine Frage, also das Vertauschen der Summationsreihenfolge

$\left(\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{k=1}^p a^i_jb^j_kd^k_l \right)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le l\le q}} = \left(\sum\limits_{k=1}^p\left(\sum\limits_{j=1}^n a^i_jb^j_kd^k_l \right)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le l\le q}}$

Nach welchem Index würde man hier die Induktion durchführen?

VG X3nion


ligning
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-13 23:50

Zunächst würde ich mal vorschlagen, sich auf das Wesentliche zu beschränken (das war eigentlich schon die Kernaussage meines vorherigen Postings): $\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{ij}$

Naja und über welche Variable du die Induktion durchführst, ist herzlich egal, die Situation ist ja vollkommen symmetrisch.


X3nion
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-13 23:54

2020-07-13 23:50 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
Zunächst würde ich mal vorschlagen, sich auf das Wesentliche zu beschränken (das war eigentlich schon die Kernaussage meines vorherigen Postings): $\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{ij}$

Naja und über welche Variable du die Induktion durchführst, ist herzlich egal, die Situation ist ja vollkommen symmetrisch.

Dankeschön ligning, ich habe den Beweis vollzogen und es ist mir nun klar!

VG X3nion




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Druckdatum: 2020-11-28 00:24