Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Supremum in der Lagrange-Funktion
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mbInfoStudent
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Themenstart: 2020-08-07 13:39

In meinem Skript ist geschrieben, dass gegeben ein quadratisches Problem (QP):
$$ \min_x q(x):= c^Tx+\frac{1}{2}x^TQx $$ $$\text{ } s.t.\text{ } Ax\leq b$$ wobei $c\in \mathbb{R}^n, Q\in \mathbb{R}^{n\times n} $ is symmetrisch positiv semidefinit, $A\in \mathbb{R}^{m\times n}, b\in \mathbb{R}^m$
mit Lagrange Funktion>
$$ L(x,y):=q(x) + y^T(Ax -b),$$ is äquivalent zu
$$ \min_x p(x), \text{    } p(x):= \sup_{y\geq 0} L(x,y)$$
Meine Frage ist warum für $p(x)$ das Supremum von der Lagrange Funktion benutzt wird: $p(x):= \sup_{y\geq 0} L(x,y)$. Generell muss ja für ein KKT-Punkt gelten $y^T(Ax -b) =0$ und $q(x)$ minimiert werden. Was ist dann der Sinn für das Supremum? fed-Code einblenden




mbInfoStudent
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Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-07 14:23

Ich denke, ich habe es selbst raus:
Wir wissen $Ax\leq b$ und $y\geq0$, somit ist $y^T(Ax-b)\leq0$. Wenn wir $p(x)$ minimieren würden, ohne $y^T(Ax-b)$ zu maximieren, wäre das nicht äquivalent zum Minimieren von $q(x)$. $p(x)=q(x)$ genau dann, wenn $y^T(Ax-b)=0$ und gleichzeitig $x$ zulässig ist. Und $y^T(Ax-b)=0$ ist das Supremum von der Lagrange Funktion über $y$.
Das kann man natürlich mathematisch besser aufschreiben, aber so ist meiner Meinung nach der Gedanke dahinter.




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Druckdatum: 2020-10-26 19:39