Forum:  Funktionen
Thema: Differenzfunktion
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Eric_H
Aktiv
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 53
Aus:
Themenstart: 2020-08-12 14:47

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit der folgenden Aufgabe:


In der Lösung der Aufgabe wird die Differenzfunktion
fed-Code einblenden
betrachtet.

Das Thema Differenzfunktion ist mir nicht bekannt.
Kann jemand allgemein sagen und evtl. auch in Zusammenhang mit der Aufgabe, welche Erkenntnisse beim Betrachten der Differenzfunktion sich ergeben?

Vielen Dank

Gruß Eric





luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 350
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-12 14:52

Moin Eric, das ist erst einmal nur eine Wortschoepfung. Aber es koennte sein, dass es einfacher ist, eine Nullstelle der D-Funktion zu bestimmen als direkt die Loesung der urspruenglichen Gleichung.

vg Luis


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1238
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-12 14:53

Hallo

Wenn du zeigen kannst, dass die Diffrenzfunktion genau eine Nullstelle hat, dann hat auch die Gleichung genau eine Lösung. Dazu kannst du Zwischenwertsatz und Monotonie durch die Ableitung benutzen.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4879
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-12 14:55
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

vermutlich ist die Überlegung die folgende: es reicht aus, das Problem auf \(\IR_{\ge 0}\) zu betrachten (warum?). Über diesem Intervall besitzt die Differenzfunktion ein eindeutiges Monotonieverhalten, was dann die Existenz genau einer Nullstelle (der Differenz) garantiert.

Hilft dir das schon weiter?


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Eric_H
Aktiv
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 53
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12 16:24

Hallo,

danke, es hat ein wenig geholfen die Lösung nachzuvollziehen.



Was ich noch nicht geschafft habe zu verstehen ist,
wie man darauf kommt dass f(x) = g(x) im Intervall (0,1) liegt.

Gruß Eric



Eric_H
Aktiv
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 53
Aus:
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-12 16:26

Ach,das ist der schnittpunkt von der differnzfunktion mit der x achse


Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 474
Aus: Deutschland
Beitrag No.6, eingetragen 2020-08-12 16:29

Moin Eric

Du betrachtest ja die Differenzfunktion $h=f-g$. Nun sagt dir der Nullstellensatz, dass es eine Nullstelle im Intervall $(0,1)$ gibt. Also konkret es existiert ein $x \in (0,1)$ s.d. $h(x)=f(x)-g(x)=0$ gilt. Dies ist aber gleichbedeutend mit $f(x)=g(x)$. Nun ist dieses $x$ einzigartig aufgrund der Monotonie von $h$ und somit ist die Aussage bewiesen.

Ich hoffe es ist klarer, sonst zögere nicht nochmals zu fragen.
Grüsse
Math_user

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4879
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2020-08-12 16:31
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-08-12 16:26 - Eric_H in Beitrag No. 5 schreibt:
Ach,das ist der schnittpunkt von der differnzfunktion mit der x achse

ja nun, es ist halt \(h(0)>0\) und \(h(1)<0\). Zusammen mit der strengen Monotonie und dem Zwischenwertsatz folgt dann, dass die einzige Nullstelle der Differenzfunktion in diesem Intervall liegt.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Funktionen' von Diophant]
\(\endgroup\)

Eric_H
Aktiv
Dabei seit: 02.04.2020
Mitteilungen: 53
Aus:
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-13 08:30

Danke euch allen!

Die Grundlage, dass die Differenz der Funktionen gleich der Abstand der Funktionswerte ist (Somit 0 wenn f(x) = g(x)), hat mir gefehlt und bin da auch nicht darauf gekommen.


Jetzt ist es klar.

Gruß Eric




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Druckdatum: 2020-10-23 13:25