Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Identische Verteilung, Summe von ZV wieder identisch verteilt
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MAlipe
Junior
Dabei seit: 01.07.2020
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Themenstart: 2020-09-12 20:19

Hallo zusammen,

seien $X_i$ iid. und $Y_i$ iid. $i=1,\dots, n$. $X_i$ und $Y_i$ haben die gleiche Verteilung $(X_i$~$Y_i)$.
Gilt dann
$\sum_{i=1}^n E(X_i)=\sum_{i=1}^n E(Y_i)$, da $X_i$~$Y_i$
oder muss dafür vorher gezeigt werden, dass auch die Summe von $X_i$ die gleiche Verteilung hat wie die Summe von $Y_i$ (also $\sum_{i=1}^n X_i$ ~ $\sum_{i=1}^n Y_i)?$

Wenn es reicht, dass $X_i$~$Y_i$, dann sollte ja auch folgendes gelten oder?:
Für $X_i$ nicht unabhängig bzw. nicht paarweise unkorreliert, $Y_i$ weiterhin iid. mit $X_i$~$Y_i$ (Also sind die $Y_i$'s unabhängige Kopien der $X_i$'s). Dann gilt
$\sum_{i=1}^n Var(X_i)=\sum_{i=1}^n Var(Y_i)$.

Oder habe ich einen Gedankenfehler?

Viele Grüße
MAlipe


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6603
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-12 22:45

Wenn Xi und Yi gleichverteilt sind, dann haben sie auch die gleichen Erwartungswerte und die gleichen Varianzen. Die werden in den Summen dann lediglich aufsummiert.
Dafür ist es vollkommen unerheblich, ob die Xi unabhängig sind oder nicht.

Da Du aber explizit die Summe von Zufallsgrößen ins Spiel bringts, meinst Du vielleit etwas anderes und interessierst Dich eigentlich für $E(\sum{X_i})$ und $Var(\sum{X_i})$?
Im ersten Fall spielt das keine Rolle, weil $E(\sum{X_i})=\sum{E(X_i)}$ gilt, auch bei abhängigen Zufallsgrößen.
Im zweiten Fall macht das schon einen Unterschied, weil i.A. $Var(\sum{X_i})\neq \sum{Var(X_i)}$ gilt.


MAlipe
Junior
Dabei seit: 01.07.2020
Mitteilungen: 8
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-13 13:28

Alles klar. Also wenn
$X_i$~$Y_i$ gilt, dann gilt auch $Var(X_i)=Var(Y_i)$,
Und auch $\sum Var(X_i)=\sum Var(Y_i)$?

Und wenn gezeigt wird, dass auch $\sum X_i$~$\sum Y_i$ gilt, dann folgt
$Var(\sum X_i) = Var(\sum Y_i)$ aber nicht unbedingt $\sum Var(X_i)=\sum Var(Y_i)$?


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6603
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-13 17:15

2020-09-13 13:28 - MAlipe in Beitrag No. 2 schreibt:
Alles klar. Also wenn
$X_i$~$Y_i$ gilt, dann gilt auch $Var(X_i)=Var(Y_i)$,
Und auch $\sum Var(X_i)=\sum Var(Y_i)$?

Und wenn gezeigt wird, dass auch $\sum X_i$~$\sum Y_i$ gilt, dann folgt
$Var(\sum X_i) = Var(\sum Y_i)$ aber nicht unbedingt $\sum Var(X_i)=\sum Var(Y_i)$?
Ja, das ist so richtig. Wahrscheinlich tritt der umgekehrte Fall aber in der Praxis viel häufiger auf: Man weiß zwar, dass $X_i$~$Y_i$ für alle $i$ gilt, woraus $\sum Var(X_i)=\sum Var(Y_i)$ folgt, aber wegen Abhängigkeiten der $X_i$ oder $Y_i$ untereinander, kann man nicht auf $\sum X_i$~$\sum Y_i$ und $Var(\sum X_i) = Var(\sum Y_i)$ schließen.




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Druckdatum: 2020-11-26 20:15