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Thema: Faktorgruppen - Faktorgruppe Q/Z
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MePep
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Themenstart: 2020-09-17 15:03

Hallo!

Ich betrachte gerade den folgenden Beweis:

"Betrachtet man $(\mathbb{Z}, +)$ als eine additive Untergruppe von $(\mathbb{Q}, +)$. Sei $\alpha \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Dann gibt es ein $r \in \mathbb{Q}$ mit $\alpha = r + \mathbb{Z}$. Schreiben wir $r = \frac{a}{b}$ mit $a \in \mathbb{Z}$ und $b \in \mathbb{N}$, dann gilt $b\alpha = b(r + \mathbb{Z}) = b(\frac{a}{b} + \mathbb{Z}) = (b \cdot \frac{a}{b}) + \mathbb{Z} = a + \mathbb{Z} = 0 + \mathbb{Z}$. Dies zeigt, dass die Ordnung des Elementes $\alpha$ ein Teiler von b ist. Insbesondere ist die Ordnung von $\alpha$ endlich."

Ich habe ein paar Fragen bezüglich Faktorgruppen und bezüglich diesem Beweis:

1) Die Faktorgruppe $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ kann ich mir so vorstellen: $\mathbb{Q}/\mathbb{Z} = \{q + \mathbb{Z} | q \in \mathbb{Q}\}$, oder? Dies sind ja im Prinzip die Nebenklassen einer Untergruppe, wobei die Untergruppe hier die ganzen Zahlen darstellt, richtig? (Und auch ein Normalteiler der rationalen Zahlen ist, weshalb man hier nicht zwischen Rechts und Linksnebenklassen unterscheiden muss)

2) "Dann gibt es ein $r \in \mathbb{Q}$ mit $\alpha = r + \mathbb{Z}$."
Edit: (Hier sollte das "obige" hin) Folgt aus der obigen Definition oder?

3) "Schreiben wir $r = \frac{a}{b}$ mit $a \in \mathbb{Z}$ und $b \in \mathbb{N}$[...]"
Dies folgt aus der Definition der Rationalen Zahlen, richtig?

4) Wieso entspricht am Ende der Gleichungen $a + \mathbb{Z} = 0 + \mathbb{Z}$, also dem neutralem Element der Gruppe?

Mfg!


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1027
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-17 15:16

1) Ja.
2) Ja.
3) Ich weiß nicht, welche "obige Definition" du zitierst, aber ja, das folgt aus der Definition rationaler Zahlen.
4) Es ist $a \in \mathbb{Z}$.


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 211
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-17 15:20

Hallo MePep,

1),2) und 3) gelten per Definition.

Zu 4): Für \(a\in\mathbb{Z}\) ist \(a+\mathbb{Z}=0+\mathbb{Z}\):
"\(\subseteq\)": Sei \(x\in a+\mathbb{Z}\). Dann gibt es ein \(y\in\mathbb{Z}\) mit \(x=a+y=0+a+y\). Wegen \(a+y\in\mathbb{Z}\) ist also \(x\in0+\mathbb{Z}\).
"\(\supseteq\)": Sei \(x\in 0+\mathbb{Z}\). Dann gibt es ein \(y\in\mathbb{Z}\) mit \(x=0+y=a+(-a+y)\). Wegen \(-a+y\in\mathbb{Z}\) ist also \(x\in a+\mathbb{Z}\).

Wenn Du also die Menge der ganzen Zahlen um eine ganze Zahl verschiebst, erhälst Du einfach wieder die Menge der ganzen Zahlen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


MePep
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2020
Mitteilungen: 167
Aus:
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-17 15:30

2020-09-17 15:20 - sonnenschein96 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo MePep,

1),2) und 3) gelten per Definition.

Zu 4): Für \(a\in\mathbb{Z}\) ist \(a+\mathbb{Z}=0+\mathbb{Z}\):
"\(\subseteq\)": Sei \(x\in a+\mathbb{Z}\). Dann gibt es ein \(y\in\mathbb{Z}\) mit \(x=a+y=0+a+y\). Wegen \(a+y\in\mathbb{Z}\) ist also \(x\in0+\mathbb{Z}\).
"\(\supseteq\)": Sei \(x\in 0+\mathbb{Z}\). Dann gibt es ein \(y\in\mathbb{Z}\) mit \(x=0+y=a+(-a+y)\). Wegen \(-a+y\in\mathbb{Z}\) ist also \(x\in a+\mathbb{Z}\).

Wenn Du also die Menge der ganzen Zahlen um eine ganze Zahl verschiebst, erhälst Du einfach wieder die Menge der ganzen Zahlen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Ahh, das ergibt Sinn, danke :) !




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Druckdatum: 2020-11-26 20:04