Forum:  Mathematische Physik
Thema: Definition von Tensoren
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Takota
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Themenstart: 2020-09-18 09:20

Hallo ich arbeite mich durch das Buch von Eberhard Klingbeil "Tensorrechnung für Ingenieure".

Ein Tensor 1. Stufe wird dort so definiert (Durch das Transformationsverhalten):

Def.: Transformiert sich eine einfache indizierte Größe $A^i$ nach dem Gesetzt:

$ \bar A^i = \bar a_k^i\ A^k $ und $ A^i = \underline{a}_k^i\ \bar A_k $

so liegt ein Tensor 1. Stufe vor. Die $A^í$ sind seine kontravarianten Komponenten.

Transformiert sich eine einfache indizierte Größe $A_i$ nach dem Gesetzt:

$ \bar A_i =\underline{a}_i^k\ A_k $ und $ A_i = \bar a_i^k\ \bar A_k $

so liegt eine Tensor 1.Stufe vor. Die $A_i$ sind seine kovarianten Komponenten.

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Def: Ein Tensor 2. Stufe

z.B: Gelten für eine doppelt indizierte Größe $ t_{ij}$ diese Transformationsregeln, so liegt ein Tensor 2.Stufe vor.
Die $ t_{ij}$ sind seine kovarianten Komponenten.

$ t_{ij} = \bar a_i^k\ \bar a_j^l\ \bar t_{kl}  $


$ \bar t_{ij} = \underline {a}_i^k\ \underline {a}_j^l \bar t_{kl}  $

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Meine Fragen:
a) Wie setzt man das in der Praxis um? Also wie prüft man einen Vektor, ob er auch ein Tensor ist? Kann mir jemand anhand eines einfachen Vektors aus der Physik mir den Nachweis zeigen, ob der Vektor ein Tensor ist oder nicht?

b) Gleiches wie unter a), nur für einen Tensor 2.Stufe. Vielleicht anhand des Spannungstensors? Warum ist der Spannungstensor ein Tensor bezüglich der Transformationsregeln?

LG
Takota



zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-18 14:01

2020-09-18 09:20 - Takota im Themenstart schreibt:
Wie setzt man das in der Praxis um?

Du hast eine Definition vorliegen, die Zahlen $t_{ijk\ldots}^{rst\ldots}$ durch Größen ausdrückt, deren Transformationsverhalten du kennst. Davon ausgehend rechnest du dann einfach nach, ob sich diese Zahlen wie ein Tensor transformieren oder nicht.

Nimm zum Beispiel die Definition des Trägheitstensors über $\Theta_{ij} = m\bigl(-x_i\,x_j+\delta_{ij}\cdot\sum_kx_k^2\bigr)$. Du weißt, wie sich die $x_i$ transformieren und kannst nachrechnen, dass die $\Theta_{ij}$ das Transformationsverhalten eines Tensors haben.

Genauso kannst du für $\widetilde\Theta_{ij} = m\bigl(-x_i^2\,x_j^2+\delta_{ij}\cdot\sum_kx_k^4\bigr)$ nachrechnen, dass das kein Tensor ist.

--zippy


Takota
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19 09:39

Also die Definition ist hier der Trägheitstensor.
Jetzt will ich nachweisen, ob das auch wirklich ein Tensor ist.

Woher weiß ich jetzt wie sich die $x_i$ transformieren?

Entschuldige diese Nachfrage, aber für mich ist die Tensorrechnung noch neu.


LG
Takota



zippy
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-19 10:19

2020-09-19 09:39 - Takota in Beitrag No. 2 schreibt:
Woher weiß ich jetzt wie sich die $x_i$ transformieren?

Dass sich die $x_i$ wie ein Vektor transformieren, steckst du in die Rechnung hinein.

Deine Tensor-Definition sagt dir im Prinzip, wie du die Tensor-Eigenschaft neuer Größen auf die bereits bekannter zurückführtst. Und ganz oben in der dieser Hierarchie steht das Transformationsverhalten der Koordinaten selbst, das du als gegeben betrachtest.


Takota
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19 17:44


Ich habe jetzt folgendermaßen die Koordinaten substituiert,
jedoch bei der Klammer beim Summenzeichen bin ich mir nicht sicher:

$\bar \Theta_{ij}=\ (?)\ m\bigl(-\underline{a}_i^r\ x_r \,\underline{a}_j^l\ x_l + \delta_{ij}\cdot\sum_k (\underline{a}_i^k\ x_k \bigr)^2)$

Wenn das stimmt, wäre der nächste Schritt wohl die Transformationskoeffizienten herauszuziehen?


zippy
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-19 17:55

2020-09-19 17:44 - Takota in Beitrag No. 4 schreibt:
jedoch bei der Klammer beim Summenzeichen bin ich mir nicht sicher

Am besten schreibst du diese Summe mit Summationskonvention als $x_k\,x^k$. (Der Ausdruck, den ich hingeschrieben hatte, passt nur in kartesischen Koordinaten.)


Takota
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19 19:39


$\bar \Theta_{ij}=\ (?)\ m\bigl(-\underline{a}_i^r\ x_r \,\underline{a}_j^l\ x_l + \delta_{ij}\cdot (\underline{a}_i^k\ x_k\ \bar{a}_m^j\ x^m\bigr)^2)$

Meinst du das so? Dann ergibt sich nach dem $\delta_{ij}$ in der Klammer ausdrücke mit Ko- und Kontravarianten Indizes?


zippy
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-19 20:05

Mein Beispiel war schlecht gewählt, da ich kartesische Tensoren im Kopf hatte (also Größen, die sich nur unter orthogonalen Transformationen wie ein Tensor transformieren) und der Summand $\delta_{ij}\cdot\sum_kx_k^2$ nur in diesem Sinne ein Tensor ist. Meine Anpassung in Beitrag Nr. 5 beseitigt dieses Problem nicht. Du solltest diesen Summanden daher einfach weglassen. Im Augenblick habe ich leider keine Zeit, um ein schöneres Beispiel zu liefern.


Takota
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-19 20:55

Ok.

$\bar \Theta_{ij}=\ (?)\ m\bigl(-\underline{a}_i^r\ x_r \,\underline{a}_j^l\ x_l )$

$\bar \Theta_{ij}=\ -m\ \underline{a}_i^r\ \underline{a}_j^l\ x_r x_l$

Das wäre dann per Definition ein Tensor 2. Stufe. Der Faktor -m wird wohl dabei nicht stören?


Takota
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21 08:32

Hätte jemand noch ein anderes Beispiel, wo man einen Tensor nachweisen kann?
Kann mir bitte jemand zeigen, wie man den Nachweis bei einem Spannungstensor macht?


zippy
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-09-26 11:49

2020-09-21 08:32 - Takota in Beitrag No. 9 schreibt:
Kann mir bitte jemand zeigen, wie man den Nachweis bei einem Spannungstensor macht?

Der Spannungstensor $\sigma$ ist dadurch definiert, dass die Kraft $F$, die auf einen Körper, der das Volumen $K$ einnimmt, durch$$ F=\int_{\partial K}\sigma\;\mathrm dA$$gegeben ist, wobei $\mathrm dA$ das vektorielle Oberflächenelement bezeichnet.

In dieser Gleichung ist das Transformationbsverhalten von $F$ und $\mathrm dA$ bekannt, und daraus kann man folgern, dass sich $\sigma$ wie ein Tensor (genauer: wie ein Tensorfeld, denn der Spannungstensor hängt ja vom Ort ab) transformiert. Die Details dazu solltest du aber in einem Buch nachlesen. Im Klingbeil scheint es ja sogar ein eigenes Kapitel zu diesem Thema zu geben (ich kenne allerdings nur das Inhaltsverzeichnis, nicht den Inhalt des Buches).




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Druckdatum: 2020-11-28 09:44