Forum:  Lineare DGL 2. Ordnung
Thema: Inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung
Themen-Übersicht
cheming2020
Junior
Dabei seit: 21.09.2020
Mitteilungen: 5
Aus:
Themenstart: 2020-09-21 12:06

Hallo, ich komme nicht mehr weiter.

y''+2y'+2y = sin(2x)

der partikuläre Lösungsansatz ist ja durch die Nullstellen bedingt:
x(A*sin(2x)+B*cos(2x))

aber nach dem aufstellen der der Ableitungen des Lösungsansatzes habe ich Probleme beim Koeffizientenvergleich...

Danke!



Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5216
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-21 12:13
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

2020-09-21 12:06 - cheming2020 im Themenstart schreibt:
Hallo, ich komme nicht mehr weiter.

y''+2y'+2y = sin(2x)

der partikuläre Lösungsansatz ist ja durch die Nullstellen bedingt:
x(A*sin(2x)+B*cos(2x))

Hm. Das sehe ich hier aber nicht. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind hier \(\lambda_{1,2}=-1\pm i\).

Insofern stimmt dein Ansatz für die partikuläre Lösung nicht. Das geht einfacher...

2020-09-21 12:06 - cheming2020 im Themenstart schreibt:
aber nach dem aufstellen der der Ableitungen des Lösungsansatzes habe ich Probleme beim Koeffizientenvergleich...

Das liegt - wie gesagt - am falschen Ansatz.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von Diophant]
\(\endgroup\)

cheming2020
Junior
Dabei seit: 21.09.2020
Mitteilungen: 5
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21 12:20

Hallo und danke schonmal für die schnelle Meldung!

Habe mich auch an der homogenen Gleichung vertan:

Sie müsste y''+4y'+20y lauten.

Und da ist die Schwierigkeit für mich, durch das zusätzliche "x" den Koeffizientenvergleich durchzuführen.

Danke!


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5216
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-21 12:31
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

für diese DGL lautet die charakteristische Gleichung

\[\lambda^2+4\lambda+20=0\]
und besitzt die beiden Lösungen

\[\lambda_{1,2}=-2\pm 4i\]
Für deinen Ansatz müsste aber \(2i\) eine Lösung der charakteristischen Gleichung sein.

Der korrekte Ansatz für die partikuläre Lösung ist und bleibt daher

\[y_p=A\cos(2x)+B\sin(2x)\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

cheming2020
Junior
Dabei seit: 21.09.2020
Mitteilungen: 5
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21 12:55

Hallo,

soweit ich das in unserer Matheliteratur( Mathematik für Ingenieure, Papula) gefunden habe, wird dort aber eine Lösung von y = x(A*sin(2x) + cos(2x)) angegeben, da die Lösung der charakteristischen Gleichung komplex ist.

Gruß


cheming2020
Junior
Dabei seit: 21.09.2020
Mitteilungen: 5
Aus:
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21 12:57

Hallo,

jetzt erst richtig verstanden. Na gut, dann habe ich wohl eher die Schwierigkeit, zu sehen wann ich genau den erst genannten Ansatz von mir verwenden darf.

Gruß


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5216
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-21 13:01
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-09-21 12:55 - cheming2020 in Beitrag No. 4 schreibt:
soweit ich das in unserer Matheliteratur( Mathematik für Ingenieure, Papula) gefunden habe, wird dort aber eine Lösung von y = x(A*sin(2x) + cos(2x)) angegeben, da die Lösung der charakteristischen Gleichung komplex ist.

Da musst du nochmal genau lesen. Ich habe gerade extra meinen zweiten Band des Papula aus dem Regal gezogen und nachgesehen. Dort steht es korrekt:

wenn die Störfunktion vom Typ \(g(x)=\sin(\beta x)\) bzw. \(g(x)=\cos(\beta x)\) ist und \(\beta j\) keine Lösung der charakteristischen Gleichung: dann ist

\[y_p=A\cdot\sin(\beta x)+B\cdot\cos(\beta x)\]
oder

\[y_p=C\cdot\sin(\beta x+\varphi)\]
der Lösungsansatz (die beiden Ansätze sind äquivalent).


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)

cheming2020
Junior
Dabei seit: 21.09.2020
Mitteilungen: 5
Aus:
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21 13:38

Hallo,

danke für die schnellen Antworten. Jetzt habe ich es verstanden wann dieser Ansatz zur Rate gezogen werden muss.

Gruß!




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=249493=808184
Druckdatum: 2020-11-26 12:51