Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Folge von Zufallsvariablen konvergiert fast sicher gegen eine Konstante
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Santiago
Junior
Dabei seit: 25.05.2020
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Themenstart: 2020-09-21 16:54

Hallo  zusammen,
ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und habe hier eine alte Klausuraufgabe die ich nicht lösen kann.

Aufgabe:
fed-Code einblenden

Ich weiß nicht wirklich wie ich an die Aufgabe heran gehen soll. Wenn eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, dann ist dieser ja Eindeutig. Also dachte ich an folgendes:
fed-Code einblenden

Nun wäre das Ziel zu zeigen, das X = Y ist. Wobei ich mir nicht sicher bin ob das nur die Eindeutigkeit beweist oder ob es zeigt das X Konstant ist. Wie gehe ich am besten an die Aufgabe heran?

Danke im Voraus 👍






sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-23 15:34

Hallo Santiago,

Dein Ansatz ist irgendwie komisch und auch nicht zielführend. Du nimmst an, dass \(X\) nicht konstant ist und folgerst, dass es ein \(Y\in\mathbb{R}\) gibt mit \(P(\lim_{n\to\infty}X_n=Y)=1\), was ja gerade bedeutet, dass \(X=Y\) (f.s.). Damit wäre \(X\) ja f.s. konstant...


Es wäre denke ich eine Möglichkeit, die Aussage mittels des Lemmas von Borell-Cantelli zu zeigen.

de.wikipedia.org/wiki/Borel-Cantelli-Lemma

Für \(c\in\mathbb{R}\) und \(n\in\mathbb{N}\) definiert man \(A_n:=\{X_n\leq c\}\) und \(A:=\limsup_{n\to\infty}A_n\). Dann kannst Du Dir überlegen, dass \(P(X<c)\leq P(A) \leq P(X\leq c)\) gilt. Aus dem Lemma von Borell-Cantelli folgt \(P(A)\in\{0,1\}\) und damit, dass für jedes \(c\in\mathbb{R}\) gilt, dass \(P(X\leq c)=1\) oder \(P(X<c)=0\).

Daraus kannst Du schließen, dass \(X\) (f.s.) konstant ist.


Eine Alternative wäre es, zu beweisen, dass \(X\) messbar bzgl. der terminalen \(\sigma\)-Algebra \(\mathcal{T}\) der Folge \((X_n)\) ist und das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz zu verwenden.

de.wikipedia.org/wiki/Kolmogorowsches_Null-Eins-Gesetz

Daraus würde \(P(X\leq c)\in\{0,1\}\) für alle \(c\in\mathbb{R}\) folgen.


Santiago
Junior
Dabei seit: 25.05.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-03 12:57


Eine Alternative wäre es, zu beweisen, dass \(X\) messbar bzgl. der terminalen \(\sigma\)-Algebra \(\mathcal{T}\) der Folge \((X_n)\) ist und das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz zu verwenden.

Daraus würde \(P(X\leq c)\in\{0,1\}\) für alle \(c\in\mathbb{R}\) folgen.

Hallo Sonnenschein, erstmal lieben Dank für deine Ansätze. Ich versuche derzeit besser die terminalen \(\sigma\)-Algebren zu verstehen und würde gerne mit dem Ansatz fortfahren. Ich werde für mich zur Übung es auch mit BC lösen.

Folgendes habe ich mir überlegt:

fed-Code einblenden

wobei die Messbarkeit und die Folgerung daraus in unserer Vorlesung erwähnt wurde. Hierzu gibt es in der Vorlesung aber keinen Beweis, da man sich dies selber überlegen sollte und wo ich bisher nicht weit gekommen bin.

Danke !


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-03 16:01

Eigentlich war die Idee, zu beweisen, dass \(X\) messbar bzgl. \(\mathcal{T}\) ist, also \(\{X\leq c\}\in\mathcal{T}\) für alle \(c\in\mathbb{R}\) gilt, und dann Kolmogorow zu verwenden, um \(P(X\leq c)\in\{0,1\}\) für alle \(c\in\mathbb{R}\) zu folgern.


Deinen Ansatz kann ich ehrlich gesagt nicht wirklich nachvollziehen. Insbesondere ist die "Menge" \(B=\{B\in F\in\{0,1\}\}\) mathematisch vollkommen sinnlos :P Was meinst Du damit? Meinst Du \(\mathcal{B}=\{B\in\mathcal{F}\,|\,P(B)\in\{0,1\}\}\), wobei \(\mathcal{F}\) die \(\sigma\)-Algebra auf \(\Omega\) bezeichnet?

Außerdem ist nicht klar, dass aus \(P(\limsup X_n=c)\in\{0,1\}\) für alle \(c\in\mathbb{R}\) folgt, dass tatsächlich \(P(\limsup X_n=c)=1\) für ein \(c\in\mathbb{R}\). Es wäre dann wohl besser \(P(\limsup X_n\leq c)\in\{0,1\}\) für alle \(c\in\mathbb{R}\) zu zeigen, siehe oben.


Santiago
Junior
Dabei seit: 25.05.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-06 15:25

Hallo Sonnenschein,

ich versuche es nochmal:

fed-Code einblenden

Passt das so?😁


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-07 02:24

Ja im Prinzip schon, wobei ich gerade sehe, dass \(\lim X_n=X\) nur f.s. angenommen wurde, womit \(\{X\leq c\}\in\bigcap_{n=1}^\infty\sigma(X_n,X_{n+1},\ldots)\) erstmal nicht klar ist.

Man sieht aber leicht, dass \(\{\lim X_n\leq c\}\in\bigcap_{n=1}^\infty\sigma(X_n,X_{n+1},\ldots)\) für alle \(c\in\mathbb{R}\), was uns völlig reicht. Dann ist \(P(X\leq c)=P(\lim X_n\leq c)\in\{0,1\}\).

Dann musst Du Dir noch überlegen, warum aus \(P(X\leq c)\in\{0,1\}\) für alle \(c\in\mathbb{R}\) tatsächlich folgt, dass \(X\) f.s. konstant ist (falls Dir das nicht eh schon klar ist). Die Konstante ist gegeben durch \(\tilde{c}=\min\{c\in\mathbb{R}\,|\,P(X\leq c)=1\}=\sup\{c\in\mathbb{R}\,|\,P(X\leq c)=0\}\).




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Druckdatum: 2020-11-27 01:37