Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Zwei Würfelspieler werfen besondere Würfel - wer gewinnt?
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AnnaMaria2000
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Dabei seit: 21.09.2020
Mitteilungen: 2
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Themenstart: 2020-09-21 17:56

Hallo zusammen,

ich hoffe ich habe den Titel halbwegs passend formuliert und freue mich sehr über Hilfe von Euch! Für ein Spielsystem habe ich folgende Fragestellung:

Zwei Spieler nutzen besondere Würfel, deren 6 Seiten mit folgender Augenzahl beschriftet sind:
1: 0
2: 1
3: 1
4: 1
5: 1
6: 2

Also auf einer Würfelseite gibt es 0 Punkte, auf einer 2 und alle restlichen vier Seiten geben jeweils 1 Punkt. Somit beträgt der Mittelwert eines einzelnen Wurfs 1.

Spieler_A verfügt über 5 dieser besonderen Würfel und Spieler_B über 7 dieser Würfel.

Ziel des Spiels: Jeder Spieler wirft mit seiner ihm zugeordneten Würfelmenge und versucht als Summe mindestens 1 Punkt mehr (!) als sein Gegner zu würfeln. Es werden pro Durchgang jeweils immer alle Würfel geworfen, also der eine würfelt 5, der andere 7 Würfel.

Jetzt die Frage: Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, mit der jeweils Spieler_A und Spieler_B hier gewinnen kann? Anders formuliert: Es ist natürlich offensichtlich, dass es Spieler_B leichter hat, viele Punkte zu bekommen, weil er ja 2 mehr Würfel als Spieler_A hat. Jedoch möchte ich gerne berechnen, welche Wahrscheinlichkeit dahinter steckt.

Ich habe mir schon den Kopf zerbrochen und auch diese praktische Seite hierfür genutzt: anydice.com Dort kann man mit entsprechender Syntax sich diese besonderen Würfel aufschlüsseln lassen. Zu den oben beschriebenen Würfeln passt die Syntax "output 5d{0, 1, 1, 1, 1, 2}" ohne Anführungszeichen für 5 Würfel (und 7d für 7 Würfel).

Werden noch mehr Infos benötigt? :)
Herzlichen Dank für Eure Hilfe!
Anna Maria




Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5318
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-21 18:04
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Das läuft in diesem Fall wohl grob auf folgende Vorgehensweise hinaus:

- Führe zwei Zufallsvariable ein, die jeweils für die Summe der Punktzahlen beider Spieler stehen. Nennen wir sie mal A und B.
- Für den Fall, dass A gewinnt, rechne nun für jede Punktzahl von B die Wahrscheinlichkeit aus.
- Zu jeder dieser Punktzahlen dann die Wahrscheinlichkeit, dass A mehr Punkte hat.
- Diese beiden Wahscheinlichkeiten werden für jede Punktzahl von B multipliziert.
- Die so entstehenden Produkte aufsummiert ergeben die Wahrscheinlichkeit \(P(A>B)\), also dafür, dass A gewinnt.

Da es auch unentschieden ausgehen kann, musst du nun das gleiche Prozedere noch für den anderen Fall ausrechnen. Oder du rechnest noch die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden aus, addierst sie zu \(P(A>B)\) und subtrahierst das Ergebnis von 1.

Welche Vorkenntnisse hast du denn?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 373
Aus:
Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-22 10:23

Moin Maria,

willkommen auf dem MP.

Mit den Werten, die die von dir genannte Seite liefert habe ich mal in R weitergemacht.  Mit $\texttt{p5}$ bzw.  $\texttt{p7}$ bezeichne ich die Verteilung der Augensummen bei Spieler A bzw. bei Spieler B. Nach dem Vorschlag von Diophant die zugehoerigen Zufallsvariablen $A$ bzw.  $B$.  Wenn die beiden Spieler unabhaengig werfen, gilt $P(A=a,B=b)=P(A=a)\cdot P(B=b)=:p_{ab}$, $a=1,\dots,10$ und $b=1,\dots,14$.  Die Wahrscheinlichkeiten $p_{ab}$ werden in einer Tabelle $\texttt{tab}$ mit 10 Zeilen und 14 Spalten dargestellt.  Hier muss man nur alle Eintraege addieren, wo $a>b$ gilt (A gewinnt) oder $a=b$ (Unentschieden).
R
R> p5 # von anydice.com
      [,1]         [,2]
 [1,]    0 0.0001286008
 [2,]    1 0.0025720165
 [3,]    2 0.0212191358
 [4,]    3 0.0925925926
 [5,]    4 0.2276234568
 [6,]    5 0.3117283951
 [7,]    6 0.2276234568
 [8,]    7 0.0925925926
 [9,]    8 0.0212191358
[10,]    9 0.0025720165
[11,]   10 0.0001286008
R> p7 # von anydice.com
      [,1]         [,2]
 [1,]    0 3.572245e-06
 [2,]    1 1.000229e-04
 [3,]    2 1.225280e-03
 [4,]    3 8.601966e-03
 [5,]    4 3.808370e-02
 [6,]    5 1.103252e-01
 [7,]    6 2.105731e-01
 [8,]    7 2.621742e-01
 [9,]    8 2.105731e-01
[10,]    9 1.103252e-01
[11,]   10 3.808370e-02
[12,]   11 8.601966e-03
[13,]   12 1.225280e-03
[14,]   13 1.000229e-04
[15,]   14 3.572245e-06
tab <- outer(p5[,2],p7[,2]) # Aufbau der Tabelle mit p_ab
R> sum(tab[outer(1:10,1:14,">")])# A gewinnt
[1] 0.1032039
R> sum(tab[outer(1:10,1:14,"==")])# Unentschieden
[1] 0.0001506237

Nachtrag: Andere wiesen zurecht auf einen Rechenfehler von mir hin. Deswegen die folgenden Korrektur:

R
R> sum(tab[outer(0:10,0:14,">")]) # A gewinnt
[1] 0.103232
R> sum(tab[outer(0:10,0:14,"==")])# Unentschieden
[1] 0.1208466
R> sum(tab[outer(0:10,0:14,"<")]) # B gewinnt
[1] 0.7759214

vg Luis



AnnaMaria2000
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Dabei seit: 21.09.2020
Mitteilungen: 2
Aus:
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 22:17

Herzlichen Dank an Euch beide für die schnelle Antwort!

@Diophant: Meine Mathekenntnisse gehen leider kaum über Schulmathe hinaus... Aber wenn Luis jetzt nicht so schnell gewesen wäre, hätte ich mich schon mal drangesetzt und es versucht! (Mach ich wohl auch noch, je nach dem wie lange mich das hier noch umtreiben wird).

@Luis: ... Daher Dir schon mal Danke für die konkreten Ergebnisse.

Ein paar Rückfragen:
"[1] 0.1032039" --> Das bedeutet 10,3 % Gewinnchance für A, richtig?
"[1] 0.0001506237" --> Und Unentschieden dann bei etwa 0,001%? Das erscheint mir sehr wenig. Oder habe ich mich vertan? Ich hoffe ich habe diese Kommazahlen richtig interpretiert :)

Ungeachtet dessen, habe ich bei Anydice.com heute die "Roller"-Funktion genutzt und mir 10.000 Zufallsergebnisse für den 5er und den 7er Spieler auswürfeln lassen. Ich habe beide Datensätze gegeneinander in Excel antreten lassen (einfach pro Spieler eine Spalten nebeneinander gesetzt, mit je 10.000 Zeilen). Da kommt bei mir grob 10% (plus minus 1% je nach Durchgang) als Gewinnchance für A heraus, das würde also die 10,3% von Dir "empirisch" sehr genau treffen.

Bloß beim Unentschieden komme ich auf etwa 12%. Das erscheint mir gefühlt auch recht "realistisch" im Vergleich zur Gewinnchance. Könntest Du mir da Deine Ergebnisse noch vielleicht erläutern?

Danke & liebe Grüße,
Anna Maria


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-22 23:06

2020-09-22 22:17 - AnnaMaria2000 in Beitrag No. 3 schreibt:
Ein paar Rückfragen:
"[1] 0.0001506237" --> Und Unentschieden dann bei etwa 0,001%? Das erscheint mir sehr wenig. Oder habe ich mich vertan? Ich hoffe ich habe diese Kommazahlen richtig interpretiert :)

Hallo AnnaMaria2000,

das wären wohl 0,01 %. D. h. eins von 10000 Spielen geht unentschieden aus.  (Allerdings habe ich die Rechnung von luis52 nicht überprüft.)


markusv
Senior
Dabei seit: 24.01.2017
Mitteilungen: 305
Aus: Leipzig
Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-23 08:02

Ich komme auch mit luis Zahlen auf ziemlich genau 12 % Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden. Da hat sich wohl ein Fehler in der Berechnung eingeschlichen.

Für die Berechnung müssen die Einzelwahrscheinlichkeiten für A und B der jeweils gleichen Punktzahl multipliziert werden. Diese Wahrscheinlichkeiten ("A und B haben die gleiche Punktzahl") werden für alle Punktzahlen addiert.
Ich hoffe, das ist einigermaßen verständlich.



luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 373
Aus:
Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-23 08:46

2020-09-22 22:17 - AnnaMaria2000 in Beitrag No. 3 schreibt:
@Luis: ... Daher Dir schon mal Danke für die konkreten Ergebnisse.

Ein paar Rückfragen:
"[1] 0.1032039" --> Das bedeutet 10,3 % Gewinnchance für A, richtig?

Korrekt.

2020-09-22 22:17 - AnnaMaria2000 in Beitrag No. 3 schreibt:
"[1] 0.0001506237" --> Und Unentschieden dann bei etwa 0,001%? Das erscheint mir sehr wenig. Oder habe ich mich vertan? Ich hoffe ich habe diese Kommazahlen richtig interpretiert :)

Ungeachtet dessen, habe ich bei Anydice.com heute die "Roller"-Funktion genutzt und mir 10.000 Zufallsergebnisse für den 5er und den 7er Spieler auswürfeln lassen. Ich habe beide Datensätze gegeneinander in Excel antreten lassen (einfach pro Spieler eine Spalten nebeneinander gesetzt, mit je 10.000 Zeilen). Da kommt bei mir grob 10% (plus minus 1% je nach Durchgang) als Gewinnchance für A heraus, das würde also die 10,3% von Dir "empirisch" sehr genau treffen.

Bloß beim Unentschieden komme ich auf etwa 12%. Das erscheint mir gefühlt auch recht "realistisch" im Vergleich zur Gewinnchance. Könntest Du mir da Deine Ergebnisse noch vielleicht erläutern?

Du hast recht, ich habe meine Rechnungen oben korrigiert und ergaenzt. Danke auch an markusv.

vg Luis


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1884
Aus:
Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-23 13:09

Die exakten Werte für einmal Würfeln sind übrigens:
* A gewinnt: 112356797 / 1088391168
* B gewinnt: 844506007 / 1088391168
* Unentschieden: 10960697 / 90699264

Falls so lange gewürfelt wird, bis eine Entscheidung fällt:
* A gewinnt: 112356797 / 956862804
* B gewinnt: 844506007 / 956862804





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Druckdatum: 2020-12-05 06:35