Forum:  Geometrie
Thema: Kugelkoordinaten Einheitsvektoren
Themen-Übersicht
notgoodatmath
Junior
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 9
Aus:
Themenstart: 2020-09-21 21:42

Hi
eine Frage zu Kugelkoordinaten. Kann man jeden Ortsvektor in der Form
\(r=\rho \vec{e}_\rho \) darstellen?

Falls ja, wieso gibt es dann noch die Einheitsvektoren \(\vec{e}_\phi\) und \(\vec{e}_\theta\)?

Sorry ich bin gerade etwas verwirrt. Vielen Dank 😄

LG Sam


lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11184
Aus: Sankt Augustin NRW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-21 22:22

Hallo
 dass man einen Punkt im R^3 nicht mit einer Koordinate beschreiben kann sollte dir einleuchten. Wie gibst du einen Ort auf der Erde an? da ist allerdings der Radius schon fest
bis dann, lula


notgoodatmath
Junior
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 9
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-21 22:32

Danke fĂŒr die Antwort!
Ja, ich brauche (z.B) einen Radius $r$ und zwei Winkel $\theta$ und $\phi$.
Aber $$\vec{e}_\rho = \begin{pmatrix}
\sin(\theta) \cos\phi \\
\sin(\theta) \sin\phi \\
\cos(\theta)
\end{pmatrix}$$
berĂŒcksichtig die Winkel doch schon, oder nicht? :)
 


Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 774
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-22 11:36

2020-09-21 21:42 - notgoodatmath im Themenstart schreibt:
Hi
eine Frage zu Kugelkoordinaten. Kann man jeden Ortsvektor in der Form
\(r=\rho \vec{e}_\rho \) darstellen?

Falls ja, wieso gibt es dann noch die Einheitsvektoren \(\vec{e}_\phi\) und \(\vec{e}_\theta\)?

Sorry ich bin gerade etwas verwirrt.

Hallo!

Ja, das ist korrekt, jeder Ortsvektor kann so dargestellt werden. Trotzdem gibt es noch die beiden anderen Basisvektoren, was im ersten Moment etwas merkwĂŒrdig erscheinen kann.

Mir hat es geholfen, den betrachteten Raum in zwei getrennte Konzepte zu teilen: einmal der "Punktraum" M, in dem jeder Punkt mit 3 unabhĂ€ngigen Koordinaten adressiert werden kann (Koordinaten sind dann selbst (diffeomorphe) Funktionen $M\rightarrow\mathbb{R}^3$, die jedem Punkt 3 Koordinaten zuweisen) und dann noch der "Differenzvektorraum" $V$, der Verschiebungen oder Vektoren enthĂ€lt, sodass man, wenn man einen Vektor auf einen Punkt anwendet einen neuen Punkt bekommt (in dem man vom Aufpunkt in Richtung des Vektors geht oder den Vektor erhĂ€lt, indem man zwei Punkte "voneinander abzieht"), sowie noch einen willkĂŒrlich gewĂ€hlten, ausgezeichneten Punkt ("Koordinatenursprung"). Diese Konstruktion nennt sich "lineare Mannigfaltigkeit" oder "affiner Raum"*.

Koordinaten sind also Funktionen, was sind jetzt die Basisvektoren? Das sind die partiellen Ableitungen der Koordinatenfunktionen in Richtung der jeweiligen Koordinate! Genauer: nimm einen Punkt $p$ und den Urpsrung $o$, ihre Differenz ist der Ortsvektor von $p$, $\vec p:=p-o$ und das "lokale Dreibein" bei $p$ ist dann $\left(\frac{\partial \vec p}{\partial \rho},\frac{\partial \vec p}{\partial\vartheta},\frac{\partial \vec p}{\partial \varphi}\right),$ was nach Normierung $(\hat e_\rho,\hat e_\vartheta, \hat e_\varphi)$ ergibt. Was die Notation hier unterschlÀgt, ist, dass das lokale Dreibein vom Punkt abhÀngt, an dem man es betrachtet. Das ist bei kartesischen (und nur kartesischen) Koordinaten nicht der Fall, da ist das Dreibein "global". Das manifestiert sich dann auch darin, dass die Winkel eines Punktes in dem Basisvektor selbst auftauchen.
Nun stelle dir aber mal vor, du bist am Punkt $p$ und hĂ€ttest nur $\hat e_\rho$ zur VerfĂŒgung. Du kannst hier keine anderen Verschiebungen als auf radialer Linie machen, obwohl dein Differenzvektorraum ebenso 3-dimensional ist. Wenn du z.B. ein Vektorfeld $M\to V$ in Kugelkoordinaten beschreiben wollen möchtest (im dem Sinne das die Vektoren im Bild obiger Abbildung in der lokalen Basis der Kugelkoordinaten stehen) und nur den einen Vektor hast, kann dein Feld immer nur radialer Natur sein und nach innen oder außen "strahlen". Nur mit der vollen Basis hast du alle Freiheiten, jedes Feld darstellen zu können.

Ich hoffe, dass das etwas hilft.



* Nun kann man den $\mathbb{R}^3$ sowohl als Punkt- als auch als Vektorraum begreifen und tatsĂ€chlich sind sie ja auch isomorph zueinander, weshalb man Raumpunkte $(x,y,z)$ mit Ortsvektoren $x\hat e_x+y\hat e_y+z\hat e_z$ identifizieren kann, aber es hilft, sich klar zu machen, dass das getrennte Konzepte sind, die in anderen FĂ€llen nicht isomorph sein mĂŒssen, als alle Konzepte in einem $\mathbb{R}^3$-"Brei" verschwimmen zu lassen, ehe man sie einmal wirklich verstanden hat.


notgoodatmath
Junior
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 9
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 13:56

@Tirpitz

Wow, vielen Dank fĂŒr die ausfĂŒhrliche Antwort! Mir ist schon einiges viel klarer geworden und ich sehe jetzt auch, dass nur ein Einheitsvektor nicht genĂŒgt. So z.B wenn man ein Vektorfeld definiert und jedem Punkt in $\mathbb{R}^n$ einen Vektor zuordnen will, der nicht nur radial nach aussen sondern auch in $\theta$ oder $\phi$-Richtung zeigen soll.

Was mir nun noch Probleme bereitet: (ich arbeite jetzt in Polarkoordinaten und nicht in Kugelkoordinaten, weil das VerstÀndnisproblem hier glaube ich identisch ist...)

Falls ich einen Ortsvektor $\vec{r}= \rho \vec{e}_\rho$ gegeben habe und diesen ableite, kriege ich
$$ \dot{\vec{r}} = \dot{\rho} \vec{e}_\rho + \rho \dot{\theta} \vec{e}_\theta$$
Das ist jetzt ein Vektor, der aber nicht vom Mittelpunkt aus beschrieben wird, oder? sondern wenn ich Dich richtig verstanden habe, von einem Aufpunkt aus (also eigentlich ja gerade von der "Pfeilspitze" von $\vec{r}$... Sieht man dem Vektor $\dot{\vec{r}}$ seinen Aufpunkt an?

Danke 😁


Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 774
Aus:
Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-22 14:25

2020-09-22 13:56 - notgoodatmath in Beitrag No. 4 schreibt:
@Tirpitz

Falls ich einen Ortsvektor $\vec{r}= \rho \vec{e}_\rho$ gegeben habe und diesen ableite, kriege ich
$$ \dot{\vec{r}} = \dot{\rho} \vec{e}_\rho + \rho \dot{\theta} \vec{e}_\theta$$
Das ist jetzt ein Vektor, der aber nicht vom Mittelpunkt aus beschrieben wird, oder? sondern wenn ich Dich richtig verstanden habe, von einem Aufpunkt aus (also eigentlich ja gerade von der "Pfeilspitze" von $\vec{r}$...

Um hier keinen falschen Eindruck zu erwecken: eine (gĂ€ngige) Interpretation von Vektoren ist ja die der "Verschiebung" eines Punktes, ein Vektor braucht in diesem Sinne keinen Aufpunkt, um eindeutig definiert zu sein. Wenn du einen Vektorpfeil zeichnest, der irgendwo bei einem Punkt p anfĂ€ngt, dann wĂŒrde ich dieses Bild nur als "operiere mit Vektor auf p" interpretieren, aber jeder parallel verschobener Vektor wĂ€re genau so richtig.
Aber im Grunde hast du recht: was du hier betrachtest, ist ein (am Punkt $p(t)$ tangentialer Geschwindigkeitsvektor einer parametrisierten Trajektorie $p:\mathbb{R}\rightarrow M, t\mapsto p(t)$, der Geschwindigkeitsvektor entsprechend $\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}(p(t+h)-p(t))\equiv\dot{\vec p}(t),$ wobei wieder durch die "Differenzoperation" aus den Punkten ein Vektor wird. Die Anwendung dieses Vektors auf den Punkt $p$ zum Zeitpunkt $t$ bedeutet: verschiebe den Punkt entlang einer Gerade tangential zur Kurve zur Zeit $t$. Die LĂ€nge entsprecht der bei $t$ momentanen Geschwindigkeit mal 1 "Zeiteinheit" deiner Parametrisierung.


Sieht man dem Vektor $\dot{\vec{r}}$ seinen Aufpunkt an?

Nein, es obliegt dir, bestimmte Vektoren (sinnvoll) zu interpretieren, so wie ich den Geschwindigkeitsvektor oben interpretiert habe. Es kann aber genau so gut auch ein Ortsvektor sein, wenn du einen Aufpunkt kennst.


notgoodatmath
Junior
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 9
Aus:
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 17:58

@Tirpitz

Ich danke Dir, das hat geholfen.
Liebe GrĂŒsse

Sam😁




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL fĂŒr dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=249506=60
Druckdatum: 2020-11-26 11:03