Forum:  uneigentliche Integrale
Thema: Konvergenz und Wert des Integrals
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rtu
Junior
Dabei seit: 25.08.2020
Mitteilungen: 18
Aus:
Themenstart: 2020-09-22 12:14

Hallo,

zu folgender Aufgabe würde ich gern um einen Hinweis zum Lösungsweg bitten.

Untersuchen Sie, ob das folgende Integral konvergiert und falls es konvergiert, berechnen Sie den Wert des Integrals.

\(  \int_{0}^{\infty} x^{-a^2} dx  \)

Vielen Dank vorab.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5322
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-22 12:47
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

untersuche die drei Fälle

- \(|a|<1\)
- \(|a|=1\)
- \(|a|>1\)

getrennt.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]
\(\endgroup\)

rtu
Junior
Dabei seit: 25.08.2020
Mitteilungen: 18
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 14:40

Hallo Diophant,

vielen Dank für den Hinweis.

Ich habe für die drei Fälle je den Grenzwert berechnet. Kannst du mir sagen, ob die Grenzwerte richtig sind?
|a| = 1 Ergebnis: konvergiert gegen unendlich
|a| < 1 Ergebnis: konvergiert gegen unendlich
|a| > 1 Ergebnis: konvergiert gegen null

Danke und Gruß

rtu


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5322
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-22 14:45

Hallo,

2020-09-22 14:40 - rtu in Beitrag No. 2 schreibt:

Ich habe für die drei Fälle je den Grenzwert berechnet. Kannst du mir sagen, ob die Grenzwerte richtig sind?
|a| = 1 Ergebnis: konvergiert gegen unendlich
|a| < 1 Ergebnis: konvergiert gegen unendlich
|a| > 1 Ergebnis: konvergiert gegen null

Das ist ehrlich gesagt ziemlich sinnfrei. Wenn ein Integral unendlich groß ist, dann konvergiert es nicht, damit geht es mal los.

Wo sind denn deine zugehörigen Rechnungen? Und was konvergiert beim letzten der drei Fälle bitte gegen Null?


Gruß, Diophant


rtu
Junior
Dabei seit: 25.08.2020
Mitteilungen: 18
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 15:17

Hallo,

ok, dann habe ich da etwas noch nicht verstanden.
Hier der erste Fall |a| = 1

Ich habe für für a die 1 eingesetzt und versucht, den Wert des Integrals zu berechnen.
Mir ist nicht klar, wie ich das, wenn richtig, interpretieren muss. Ggf. so?: Da der Wert des Integrals unendlich groß ist, konvergiert es nicht.  



\(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} x^{-1^2} dx  \)
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} \frac{1}{x} dx  \)
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \log{|x|} \Big|_0^p \)
= \(   \log{|p|}  \)
= \(   \infty  \)


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5322
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-22 15:24
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-09-22 15:17 - rtu in Beitrag No. 4 schreibt:
Hier der erste Fall |a| = 1

Ich habe für für a die 1 eingesetzt und versucht, den Wert des Integrals zu berechnen.
Mir ist nicht klar, wie ich das, wenn richtig, interpretieren muss. Ggf. so?: Da der Wert des Integrals unendlich groß ist, konvergiert es nicht.  

\(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} x^{-1^2} dx  \)
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} \frac{1}{x} dx  \)
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \log{|x|} \Big|_0^p \)
= \(   \log{|p|}  \)
= \(   \infty  \)

und seit wann gilt \(\log(0)=0\)???

Das Resultat ist zwar richtig, nicht aber die Rechnung. Es ist nämlich

\[\log(x)\big|_0^{\infty}=\log(\infty)-\log(0)=\infty-(-\infty)=\infty\]
Schreibe das aber nicht so, sondern sauber als Grenzwert.

Und jetzt noch die beiden anderen Fälle auf die gleiche Art und Weise betrachten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

rtu
Junior
Dabei seit: 25.08.2020
Mitteilungen: 18
Aus:
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 15:57

ok, super, dann habe ich das soweit verstanden. Vielen Dank.

Hier der nächste Fall:
|a|<1

\(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} x^{-a^2} dx  \)
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} x^{-a} dx  \) | wenn |a| < 1 ist, ist auch |a|^2 < 1
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \frac{x^{-a+1}}{-a+1} \Big|_0^p \)
= \(    \frac{p^{-a+1}}{-a+1} -0 \)
= \(    \infty \)


Und auch, wie im ersten Fall: Da Wert des Integrals unendlich groß ist, konvergiert dieses nicht, richtig?

 



Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5322
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-22 16:13
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-09-22 15:57 - rtu in Beitrag No. 6 schreibt:
ok, super, dann habe ich das soweit verstanden. Vielen Dank.

Hier der nächste Fall:
|a|<1

\(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} x^{-a^2} dx  \)
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \int_{0}^{p} x^{-a} dx  \) | wenn |a| < 1 ist, ist auch |a|^2 < 1

Njet. Das ist nicht erlaubt, du musst schon mit dem richtigen Exponenten weiterrechnen.

2020-09-22 15:57 - rtu in Beitrag No. 6 schreibt:
= \(   \lim \limits_{p \to \infty} \frac{x^{-a+1}}{-a+1} \Big|_0^p \)
= \(    \frac{p^{-a+1}}{-a+1} -0 \)
= \(    \infty \)

Hier wird nicht wirklich klar, was du dir da gedacht hast. Wenn ich es richtig verstehe, ist es gerade wieder falsch herum. Zwar stimmt dein Resultat (weil du geschickt zwei falsche Grenzwertbetrachtungen kombinierst), aber das ist ja nicht der Sinn der Übung.

2020-09-22 15:57 - rtu in Beitrag No. 6 schreibt:
Und auch, wie im ersten Fall: Da Wert des Integrals unendlich groß ist, konvergiert dieses nicht, richtig?

Konvergenz bedeutet in der Analysis stets, dass am Ende etwas definiert endliches heraus kommt. Also im Sinne von: endlich und eindeutig.

Integriere das ganze jetzt nochmal mit dem korrekten Integranden und überlege bzw. erinnere dich, wie sich eine Potenz \(x^b\) für \(x\to 0\) bzw. \(x\to\infty\) verhält, und zwar abhängig vom Exponenten \(b\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2020-12-05 19:06