Forum:  Komplexe Zahlen
Thema: Produkt zweier komplexer Zahlen
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X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 924
Aus:
Themenstart: 2020-09-22 12:21

Hallo zusammen!

Ich habe folgende Aufgabe vor mir:
Seien $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ und gelte $z_1 \cdot z_2 = 2i$. Dann ist $z_1$ oder $z_2$ reell.

Diese Behauptung soll bewiesen oder widerlegt werden

Seien $z_1 = a + bi$ und $z_2 = c + di$ mit $a,b,c,d \in \mathbb{R}$
Dann ist $z_1 \cdot z_2 = (a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad + bc)i$.
Koeffizientenvergleich ergibt also:
$ac - bd = 0$
$ad + bc = 2$

Aus ersterem folgt $ac = bd$.

Wie kann ich nun weitermachen? Ich komme aufgrund der bisherigen Rechnungen auch auf keine Vermutung.

Ich danke euch für jede Hilfe!

Viele Grüße,
X3nion


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5185
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-22 12:30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo X3nion,

ich gebe dir mal einen kleinen Anschubser: die Behauptung ist falsch. Du musst dann nur noch geeignete Werte finden. Setze einfach spaßeshalber \(a=b=1\)...


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]
\(\endgroup\)

X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 924
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 13:19

Danke dir Diophant!
Mal wieder zu kompliziert gedacht.. 😄

Viele Grüße,
X3nion


wladimir_1989
Senior
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 1339
Aus: Freiburg
Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-22 13:28

Hallo X3nion,

eine weitere Möglichkeit wäre, sich daran zu erinnern, was komplexe Multiplikation grafisch bedeutet. Multipliziert man zwei komplexe Zahlen, so addieren sich ihre Argumente. Das heisst, wir suchen zwei Zahlen, deren Argumente sich zu \(\frac{\pi}{2}\) addieren und das Produkt der Beträge 2 ist.



lg Wladimir


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 924
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 13:46

Hey wladimir_1989,

ja klar, über die Euler'sche Form wäre es auch gegangen, so wie du schreibst.
Danke euch beiden!

Viele Grüße,
X3nion




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Druckdatum: 2020-11-24 04:48