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Thema: Bilder von Normalteilern unter Gruppenhomomorphismen
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
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Aus: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2020-09-22 19:44
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Hallo miteinander!

Heute morgen habe ich eine Übungsaufgabe gelöst, die wiefolgt lautet:
Sei \(\phi:G \to G'\) ein Gruppenhomomorphismus, und seien \(G,G'\) multiplikativ notierte Gruppen. Dann ist das Urbild \(\phi^{−1}[N']\) eines Normalteilers \(N' \triangleleft G'\) ein Normalteiler von \(G\).

Die Lösung fiel mir relativ einfach, jedoch frage ich mich, ob man die Umkehrung (\(N \triangleleft G \implies \phi[N] \triangleleft G'\)) auch beweisen könnte (habe aber bislang keine Idee, wie das gehen soll).
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1029
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-22 19:54

Du musst zusätzlich fordern, dass $\phi$ surjektiv ist.

Ansonsten: Sei $U \subseteq G$ eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist. Die kanonische Inklusion $U \hookrightarrow G$ ist bildet dann den Normalteiler $U \subseteq U$ auf einen Nicht-Normalteiler $U \subseteq G$ ab.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1115
Aus:
Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-22 19:55
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Hallo Phoensie,

die Umkehrung gilt lediglich, wenn $\phi$ surjektiv ist. Dann kannst du nämlich ein Element $\phi(n)\in\phi(N)$ nehmen, und überlegen, ob $g'\phi(n)g'^{-1}\in\phi(N)$ für alle $g'\in G'$ ist. Die Surjektivität erlaubt dir, $g'$ als Bild eines Elements $g\in G$ auszudrücken. Von hier aus kannst du es ja erstmal selbst versuchen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 251
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-22 21:36
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Ok.

\(\textbf{Satz.}\)
\(\phi:G\to G' \text{ surjektiv},\,N \triangleleft G \implies \phi[N] \triangleleft G'.\)


\(\textbf{Beweis.}\)
Sei \(N \triangleleft G\) ein Normalteiler, und \(\phi:G \to G'\) ein surjektiver Homomorphismus. Sei \(g \in G'\) mit Urbild \(b \in G\) (möglich wegen Surjektivität von \(\phi\)) und \(a \in N\). Dann gilt
\[
\begin{align*}
g^{-1}\phi(a) g
&= (\phi(b))^{-1} \phi(a) \phi(b) \\
&= \phi(b^{-1}) \phi(a) \phi(b) \\
&= \phi(b^{-1}ab),
\end{align*}
\] und weil \(N\) ein Normalteiler ist, ist auch \(b^{-1}ab \in N\) und somit \(\phi(b^{-1}ab) \in \phi[N]\).
Somit gilt zusammenfassend:
\[\forall \phi(a) \in \phi[N]: g \in G' \implies g^{-1}\phi(a)g \in \phi[N]\] und deshalb ist \(\phi[N] \triangleleft G'\) Normalteiler. QED.



Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1029
Aus:
Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-22 21:40

2020-09-22 21:36 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?

Lese bitte meinen Beitrag.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2616
Aus:
Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-22 21:56


Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?

Ein Beispiel liefert etwa die Funktion

$f: S_2\to S_3$, die eine Permutation auf sich selbst schickt. Diese Abbildung ist natürlich ein nicht-surjektiver Homomorphismus. Warum?
Wobei $S_2$, bzw. $S_3$ hier die jeweilige symmetrische Gruppe meint.

Leicht findest du nun einen Normalteiler in $S_2$, der kein Normalteiler in $S_3$ ist?


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 251
Aus: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-23 23:45
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2020-09-22 21:40 - Kezer in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-09-22 21:36 - Phoensie in Beitrag No. 3 schreibt:
Kennt ihr (einfache) Beispiele, dass bei Weglassen der Surjektivität die Aussage nicht stimmt?

Lese bitte meinen Beitrag.

Lieber Kezer, ich musste mal kurz nachschauen, was unter kanonische Inklusion gemeint war (wir lernten dies als Einbettungsabbildung kennen). Danke fürs Beispiel, Wikipedia hat mir dein Exempel erleuchtet.👌


2020-09-22 21:56 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 5 schreibt:
Ein Beispiel liefert etwa die Funktion

$f: S_2\to S_3$, die eine Permutation auf sich selbst schickt. Diese Abbildung ist natürlich ein nicht-surjektiver Homomorphismus. Warum?
Wobei $S_2$, bzw. $S_3$ hier die jeweilige symmetrische Gruppe meint.

Leicht findest du nun einen Normalteiler in $S_2$, der kein Normalteiler in $S_3$ ist?

Danke vielmals PrinzessinEinhorn, ich habe das Beispiel mit einem Kommilitonen besprochen; hat geklappt.😁👍
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Druckdatum: 2020-11-29 11:42