Forum:  Maßtheorie
Thema: Widerspruch mit Lebesgue-Maß
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Math_user
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Themenstart: 2020-09-25 15:19

Guten Nachmittag zusammen

In einem Buch über Masstheorie wurde das Lebesgue-Maß besprochen. Dabei bin ich auf folgendes gestossen: Es existiert kein Menge $E \subset \Bbb R$ s.d.  $\lambda (E \cap [a,b])= \frac{1}{2}(b-a)$, wobei gilt $a <b $. Ich sehe nicht wie ich da einen Widerspruch erhalten soll. Hat mir jemand einen Startpunkt?

Vielen Dank und viele Grüsse
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ochen
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-25 16:57

Hallo,

magst du die Aufgabe mal im Originalwortlaut widergeben?

Was spricht gegen $E=(\frac 12a+\frac 12 b,\infty)$?


Math_user
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-25 17:41



Hier wäre die Originalversion... Sagt leider nicht viel mehr aus...


tactac
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-25 18:01

2020-09-25 17:41 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
Hier wäre die Originalversion... Sagt leider nicht viel mehr aus...
Doch. Das ‚for all‘ ist schon wichtig.


Math_user
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26 10:04

Du hast natürlich komplett recht, tut mir leid. Jedoch sehe ich noch nicht, wie ich am Besten einen Widerspruch finden soll.


zippy
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-26 10:39

Da $E\cap[a,b]$ für alle $-\infty<a<b<\infty$ messbar ist, muss $E$ messbar sein. Man kann daher durch $\mu(A):=2\lambda(E\cap A)$ ein Maß mit $\mu([a,b])=b-a$ definieren.

Jetzt kann man mit der Eindeutigkeit des Lebesgue-Maßes argumentieren.


Math_user
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26 13:43

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich sehe grad noch nicht, weshalb $E\cap[a,b]$ für alle $-\infty<a<b<\infty$ messbar sein soll...
Viele Grüsse
Math_user


zippy
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-09-26 13:53

2020-09-26 13:43 - Math_user in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich sehe grad noch nicht, weshalb $E\cap[a,b]$ für alle $-\infty<a<b<\infty$ messbar sein soll...

Sonst wäre $\lambda(E\cap[a,b])$ doch gar nicht definiert. Nach Aufgabenstellung ist das aber der Fall.


Math_user
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-26 14:15

Ja klar! Vielen Dank. Nun nehmen wir die Masse, welche du definierst hast:
$\mu(A):=2\lambda(E\cap A)$, mit $\mu([a,b])=b-a$ definieren. Jedoch inwiefern bringt mich dies bei meinem Problem weiter. Ich nehmen, dass wir zeigen wollen, dass in diesem Fall $\mu([a,b])=\lambda([a,b])$ gilt. Was ja ein Widerspruch wäre aber ich blicke noch nicht durch.


zippy
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-09-26 14:59

2020-09-26 14:15 - Math_user in Beitrag No. 8 schreibt:
Nun nehmen wir die Masse, welche du definierst hast:

Ich habe nur eines definiert (nämlich $\mu$). Und das Ding ist ein Maß, kein Mass.

2020-09-26 14:15 - Math_user in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich nehmen, dass wir zeigen wollen, dass in diesem Fall $\mu([a,b])=\lambda([a,b])$ gilt.

Das müssen wir nicht mehr zeigen, das ist aufgrund der Definition von $\mu$ klar.

Was wir zeigen müssen ist $\mu=\lambda$, also $\mu(A)=\lambda(A)$ für beliebige messbare Mengen $A$. Und hier kommt das erwähnte Eindeutigkeitsargument ins Spiel.

2020-09-26 14:15 - Math_user in Beitrag No. 8 schreibt:
Was ja ein Widerspruch wäre aber ich blicke noch nicht durch.

Ein Widerspruch ist das noch nicht sofort. Es wird aber einer, wenn wir z.B. $A=E\cap[a,b]$ betrachten.


Math_user
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27 15:29

Vielen Dank für deine Ausführung. Also wir haben ja $\mu([a,b])=\lambda([a,b])$ und somit erhalten wir mit der Eindeutig des Lebesgue-Maßes das $\mu(A)=\lambda(A)$ gilt für alle messbaren $A$. Nehmen wir nun, wie du sagst $B:=E \cap [a,b]$ so folgt, dass $B$ messbar ist und $\mu (B)=b-a \neq \frac{1}{2}(b-a)=\lambda(B)$. Dies ist aber ein Widerspruch. Stimmt meine Argumentation?


zippy
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Beitrag No.11, eingetragen 2020-09-27 15:51

2020-09-27 15:29 - Math_user in Beitrag No. 10 schreibt:
Stimmt meine Argumentation?

Ja.




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Druckdatum: 2020-11-30 06:09