Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Monotonie mit der Gleichverteilung zeigen
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lil_astronaut
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Dabei seit: 06.09.2020
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Themenstart: 2020-09-25 17:26

Hey,
ich habe eine kurze Frage zur Lösung dieser Aufgabe.

Augfabe:
Das Risikomaß $g_{(v)}:L^2:={\{ X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}|E[X^2]<\infty}\rightarrow\mathbb{R}\}$
sei definiert durch $g_{(v)}(X):=-E[X]+Var(X)$, entschieden Sie, ob $g_{(v)}$ monoton ist.

Lösung:
$g_{(v)}$ ist nicht monoton, denn für die Zufalssvariable $X;Y$ mit $P_X= \epsilon_0$ Und $P_Y=G(p)$ (Das soll hier die Gleichverteilung sein) für ein $p\in(0,1)$ gilt $X \geq Y$ aber $g_{(v)}(X)< g_{(v)}(Y)$ ,denn
$$g_{(v)}(X)=-E[X]+Var(X)=0$$ $$g_{(v)}(Y)=-E[Y]+Var(Y)=-\frac{1-p}{p}+\frac{1-p}{p^2}=\frac{(1-p)^2}{p^2}>0$$
Wisst ihr vielleicht, wie man darauf kommt, dass  für $\epsilon_0$0 herauskommt und wieso man hier gerade die Gleichverteilung benutzt bzw. benutzen darf, denn wenn man eine bestimmte Verteilung heruaspickt hat man es doch noch nicht generell gezeigt, oder?

MfG
lil_astronaut


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 222
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-25 18:07

Hallo lil_astronaut,

doch man darf sich ein konkretes (Gegen-)Beispiel "herauspicken". Die Negation von "Für alle \(x\) gilt \(A(x)\)" ist eben "Es gibt ein \(x\), sodass \(A(x)\) nicht gilt".

Ich gehe mal davon aus, dass \(G(p)\) die geometrische Verteilung bezeichnet, also \(P(Y=n)=p(1-p)^n\) für \(n\in\mathbb{N}_0\). Das würde zumindest mit dem von Dir angegebenen Erwarungswert und Varianz zusammenpassen.

Und was verstehst Du unter "der" Gleichverteilung? Bei Gleichverteilungen sind \(E[X]\) und \(Var[X]\) im Allgemeinen auch sicherlich nicht gleich.


lil_astronaut
Aktiv
Dabei seit: 06.09.2020
Mitteilungen: 37
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-25 19:40

Hey sonnenschein96,
dass mit dem Gegenbeispiel leuchtet mir ein und dass das keine Gleichverteilung, sondern eine geometrische Verteilung ist auch:)

Bei der Gleichverteilung hatte ich mich vertan, hatte bei $G(p)$ sofort auf Gleichverteilung getippt und lag damit falsch.

Weisst du vielleicht auch noch, was es mit dem $\epsilon_0$ auf sich hat, und warum dass, eingesetzt in das Risikomaß, 0 ergibt?

MfG
lil_astronaut

PS: Vielen Dank nochmal für deine Hilfe:)


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3381
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-09-25 20:18

Huhu astronaut,

Zunächst: Die Monotonie eines Risikomasses $r$ besagt, dass für zwei Zufallsvariablen $X, Y$ mit den Verteilungsfunktionen $F_X$, $F_Y$ aus $F_X(x) \geq F_Y(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ folgt $r(X) \leq r(Y)$.

Hier wird nun ein Gegenspiespiel für das konkrete Risikomass konstruiert. Dazu wird $Y$ als geometrisch (mit Paramter $p$) verteilt angenommen und $X$ als diracverteilt in $0$, d.h. es gilt $X=0$ f.s.

Damit solltest Du die Rechnung nachvollziehen können.

lg, AK.


lil_astronaut
Aktiv
Dabei seit: 06.09.2020
Mitteilungen: 37
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-25 21:13

Hallo Annakath,
vielen Dank, jetzt habe ich auch die Stelle mit dem $\epsilon_0$ verstanden:)
lg


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 222
Aus:
Beitrag No.5, eingetragen 2020-09-25 21:14

@ AnnaKath: Ah okay, mir war nicht klar, was mit \(\varepsilon_0\) gemeint ist. Ich kenne eher die Notation \(\delta_0\).

Aber warum ist das dann ein Gegenbeispiel? Es gilt doch hier \(F_X(x)\geq F_Y(x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) und \(r(X)=0<r(Y)\), falls \(r=g_{(v)}\) sein soll.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3381
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Beitrag No.6, eingetragen 2020-09-25 22:29

Huhu sonnenschein*,

ich habe mir - zugegeben - keine Gedanken über die Sinnhaftigkeit gemacht, sondern nur versucht, eine sinnvolle Interpretation des im Themenstart Geschriebenen zu geben.

Etwas "fraglich" erscheint mir die Argumentation allerdings auch.

lg, AK.

*) exquisiter Name btw




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Druckdatum: 2020-12-05 18:24