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Thema: Inverse in der Gruppe U_n
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Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 246
Aus: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2020-09-27 17:40
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo miteinander

Für eine positive ganze Zahl $n$ betrachte man die Menge \[U_n:=\{\overline{r} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid \mathrm{ggT}(r,n) = 1\}\] mit der multiplikativen Verknüpfung
\[\overline{r}\cdot\overline{s} = \overline{rs}.\]

Zeige: $U_n$ ist eine abelsche Gruppe.


Beweis:
- Abgeschlossenheit
- Kommutativität
- Assoziativität
- Neutrales Element

konnte ich alle nachweisen. Mir fehlen jedoch die Inversen...




Zur Existenz von Inversen:
Sei $\overline{a}\in U_n$. Wir verwenden das \(\textit{Lemma von Bézout}\) (Lemma von Bézout: $\forall a,b \in \mathbb{Z} \,\exists s,t \in \mathbb{Z} : \mathrm{ggT}(a,b) = sa+tb.$) und schreiben ggT$(a,n)=1=sa+tn$ für ganze Zahlen $s,t \in \mathbb{Z}$. Setze dann $s:=a^{-1}$, womit folgt
\[
        \begin{align*}
            \underbrace{a^{-1}a}_{=1} -tn = 1
        \end{align*}
\]
Für $\overline{a} \in U_n$ setze \((\overline{a})^{-1}:=...\) (hier weiss ich nicht was reinschreiben). Damit folgt nämlich
\[
        \begin{align*}
            \mathrm{ggT}(r,n)=1
            \implies \mathrm{ggT}(s,n)=1
            \implies \mathrm{ggT}(a^{-1},n)=1
            \implies \overline{a}^{-1} \in U_n
        \end{align*}
\]

Und habe ich mit meiner Definition $s=a^{-1}$ ein Problem, da Inverse von ganzen Zahlen rationale Zahlen sind?🤔

Ich danke für jeden Tipp.😁
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1027
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-27 17:56

Ich denke du hast das Lemma von Bezout falsch verstanden. Das Lemma liefert dir zwei ganze Zahlen $s,t$, da sollst du nichts selber setzen. Der Kandidat für die Inverse von $a$ is die Restklasse von $s$ modulo $n$.


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 246
Aus: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27 18:12

ok danke für den Hinweis, Kezer. Ist mir jetzt klar.😄




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Druckdatum: 2020-11-26 22:04