Forum:  Integration
Thema: Stetigkeit eines Integrals zeigen
Themen-Übersicht
Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 252
Aus: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2020-09-30 14:08
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo zusammen.

Seien $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ und $K:[a,b] \times [a,b] \to \mathbb{R}$ stetige Funktionen, und $\lambda \in \mathbb{R}$.

Satz. Für ein genügend kleines Intervall mit Länge $|b-a|$ und einen genügend kleinen Parameter $\lambda$ existiert eine eindeutige Lösung $u \in C^0([a,b],\mathbb{R})$ der Fredholmschen Integralgleichung
\[    \begin{align*}
        u(x) = f(x) + \lambda\int_a^b K(x,y)u(y)\mathrm{d}y,\qquad \forall x \in [a,b].
    \end{align*}
\] Dabei genügt die Bedingung
\[
    \begin{align*}
        \lambda |b-a| \cdot \max_{x,y \in [a,b]}|K(x,y)| < 1.
    \end{align*}
\]
Zur Lösung dieser Aufgabe sollen wir den Banachschen Fixpunktsatz anwenden für die Abbildung \[\Phi(u) := f(x) + \lambda\int_a^b K(x,y)u(y)\mathrm{d}y.\]
Ich konnte bislang nachweisen, dass $\Phi$ eine Kontraktion ist, und dass $C^0([a,b],\mathbb{R})$ vollständig ist. Nun fehlt mir, dass die Abbildung Werte in $C^0([a,b],\mathbb{R})$ annimmt. Wie zeige ich dies?
\(\endgroup\)

Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8926
Aus: Dortmund, Old Europe
Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-30 14:26

Hallo,

wühle mal in deinen alten Analysis-II-Ordnern nach einem Satz über stetige Abhängigkeit von Integralen  mit Parametern.

Viele Grüße

Wally


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 252
Aus: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-30 23:13
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Lieber Wally,

Ich habe in meinem Buch (Königsberger - Analysis II) nachgeschaut und den "Differentiationssatz" gefunden, der wiefolgt lautet:

Definition. Sei $f: U \times [a,b] \to \mathbb{C}$ und $t \mapsto f(x,t)$ stetig für jedes $x \in U \subset \mathbb{R}^n$. Dabei sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ kompakt. Definiere dann eine Funktion $F:U \to \mathbb{R}$ mit
\[
x \mapsto F(x) := \int_a^b f(x,t)\mathrm{d}t.
\]

Differentiationssatz.
1) Sei für jedes $t \in [a,b]$ die Abbildung $x \mapsto f(x,t)$ nach $x_\nu$ partiell differenzierbar.
2) Sei die Funktion $(x,t) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_\nu}(x,t)$ stetig auf $U \times [a,b]$.
DANN ist $F$ nach $x_\nu$ stetig partiell differenzierbar, und es gilt
\[
\frac{\partial F}{\partial x_\nu}(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_\nu}(x,t)\mathrm{d}t.
\]

Ansonsten steht nur noch ein Vertauschbarkeitssatz zu iterierten Integralen im Buch.

Inwiefern hilft mir dies nun für die Aufgabe? Ich muss zugeben, dass ich vor lauter Buchstaben da nicht so ganz durchblicke...🙃
\(\endgroup\)

Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8926
Aus: Dortmund, Old Europe
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-01 09:50
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Phoensie,

das ist schon viel zu viel.

Du brauchst ja nur die stetige Abhängigkeit des Integrals von \(x\) und nicht die Differenzierbarkeit.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 252
Aus: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-01 17:24

Ok Wally, habe nun ein Argument zur Stetigkeit in den Notizen entdeckt und dies anwenden können. Danke!




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=249598=4035
Druckdatum: 2020-12-04 00:18