Forum:  Holomorphie
Thema: Komplexe Differenzierbarkeit
Themen-Übersicht
Wirkungsquantum
Aktiv
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 797
Themenstart: 2020-10-05 09:18

Hallo,
worin liegt eigentlich die Besonderheit an komplexer Differenzierbarkeit bzw. an Holomorphie? Man kann ja $\mathbb{C}$ auch als reellen Vektorraum, mit $\{1, i\}$ als Basis auffassen. Ich hab hierzu gelesen, dsa man dann die komplexe Differenzierbarkeit wiederum einfach im mehrdimensionalen reellen Sinne verstehen kann, aber wieso ist komplexe Differenzierbarkeit trotzdem ein so viel stärkerer Begriff als reelle Differenzierbarkeit?

Danke und Grüße
h


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1782
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-05 09:26

2020-10-05 09:18 - Wirkungsquantum im Themenstart schreibt:
aber wieso ist komplexe Differenzierbarkeit trotzdem ein so viel stärkerer Begriff als reelle Differenzierbarkeit?

Komplexe Differenzierbarkeit verlangt, dass die durch $f(z+h)=f(z)+f'(z)h+o(h)$ definierte Ableitung $f'(z)$ als Funktion $h\mapsto f'(z)h$ $\mathbb C$-linear ist, und das ist mehr als nur $\mathbb R$-linear.

Beispielsweise ist die Funktion $z\mapsto\bar z$ $\mathbb R$-linear und damit auch reell differenzierbar, aber nicht $\mathbb C$-linear und nicht komplex differenzierbar.

--zippy


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1176
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-05 10:28
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Wirkungsquantum,

um zippys Beitrag zu ergänzen: $\C$-lineare Abbildungen auf $\C$ sind gerade die Drehstreckungen (und die Nullabbildung, falls man diese nicht als Drehstreckung sehen will). Während allgemein reell differenzierbare Funktionen lokal durch beliebige Kombinationen von Drehungen, Spiegelungen, Stauchungen, Scherungen, Streckungen, etc. genähert werden können, kann eine komplex differenzierbare Funktion lediglich durch Drehungen und Streckungen genähert werden. Das führt dazu, dass holomorphe Funktionen, deren Differential nicht gerade $0$ ist, Winkel inklusive Orientierung erhalten. Schneiden sich zwei reguläre Kurven $\gamma,\eta$ unter einem bestimmten Winkel, und hat eine holomorphe Funktion $f$ am Schnittpunkt keine verschwindende Ableitung, dann schneiden sich $f\circ\gamma,f\circ\eta$ unter genau demselben Winkel. Kurzgefasst sind holomorphe Funktionen also lokal konform oder haben verschwindendes Differential. Das ist eine sehr eingeschränkte Klasse von Funktionen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5353
Herkunft: Berlin
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-05 10:43

Ein weiterer wesentlicher Unterschied ist, dass jede komplex-differenzierbare Funktion sogar unendlich oft komplex-differenzierbar ist. Bei reell-differenzierbaren Funktionen ist das bekanntlich nicht der Fall.


Wirkungsquantum
Aktiv
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 797
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25 08:58
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo,
danke für eure Antworten und sorry für die späte Rückmeldung. Ich wollte mich nach den Antworten erstmal mit der Literatur und Thematik nochmal beschäftigen (aber kam nur stückweise dazu).

2020-10-05 09:26 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Komplexe Differenzierbarkeit verlangt, dass die durch $f(z+h)=f(z)+f'(z)h+o(h)$ definierte Ableitung $f'(z)$ als Funktion $h\mapsto f'(z)h$ $\mathbb C$-linear ist, und das ist mehr als nur $\mathbb R$-linear.

Beispielsweise ist die Funktion $z\mapsto\bar z$ $\mathbb R$-linear und damit auch reell differenzierbar, aber nicht $\mathbb C$-linear und nicht komplex differenzierbar.
Ach so, das ist sehr plausibel. Danke! Folgt daraus, das der Real und Imagniärteil im allgemeinen nicht holomorph sind? Da sie ja Summe der komplex konjugierten sind.

2020-10-05 10:28 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
um zippys Beitrag zu ergänzen: $\C$-lineare Abbildungen auf $\C$ sind gerade die Drehstreckungen (und die Nullabbildung, falls man diese nicht als Drehstreckung sehen will). Während allgemein reell differenzierbare Funktionen lokal durch beliebige Kombinationen von Drehungen, Spiegelungen, Stauchungen, Scherungen, Streckungen, etc. genähert werden können, kann eine komplex differenzierbare Funktion lediglich durch Drehungen und Streckungen genähert werden. Das führt dazu, dass holomorphe Funktionen, deren Differential nicht gerade $0$ ist, Winkel inklusive Orientierung erhalten. Schneiden sich zwei reguläre Kurven $\gamma,\eta$ unter einem bestimmten Winkel, und hat eine holomorphe Funktion $f$ am Schnittpunkt keine verschwindende Ableitung, dann schneiden sich $f\circ\gamma,f\circ\eta$ unter genau demselben Winkel. Kurzgefasst sind holomorphe Funktionen also lokal konform oder haben verschwindendes Differential. Das ist eine sehr eingeschränkte Klasse von Funktionen.
Ach so, jetzt verstehe ich's. Folgt dann die Eigenschaft das die linearen Abbildungen auf $\mathbb{C}$ nur Drehstreckungen sind aus der Polarform?

2020-10-05 10:43 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Ein weiterer wesentlicher Unterschied ist, dass jede komplex-differenzierbare Funktion sogar unendlich oft komplex-differenzierbar ist. Bei reell-differenzierbaren Funktionen ist das bekanntlich nicht der Fall.
Oh ja stimmt. Kann man das auch geometrisch (o.ä.) begründen? Mal vom Beweis abgesehen, frage ich mich warum das im komplexen gilt.

Grüße
h
\(\endgroup\)

Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5353
Herkunft: Berlin
Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-25 09:08

2020-10-25 08:58 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 4 schreibt:
Oh ja stimmt. Kann man das auch geometrisch (o.ä.) begründen? Mal vom Beweis abgesehen, frage ich mich warum das im komplexen gilt.

Eine rein geometrische Begründung kann es nicht geben, aber bei MSE/640 gibt es (in den Antworten von Qiaochu Yuan und John D. Cook) geometrische Hinweise darauf, warum komplex-differenzierbare Funktionen eingeschränkter als reell-differenzierbare Funktionen sind und daher bessere Eigenschaften haben.


Wirkungsquantum
Aktiv
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 797
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25 23:02

2020-10-25 09:08 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Eine rein geometrische Begründung kann es nicht geben, aber bei MSE/640 gibt es (in den Antworten von Qiaochu Yuan und John D. Cook) geometrische Hinweise darauf, warum komplex-differenzierbare Funktionen eingeschränkter als reell-differenzierbare Funktionen sind und daher bessere Eigenschaften haben.
Danke, ich schaus mir mal in Ruhe an.


Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 844
Herkunft: Erde
Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-26 10:13

Vielleicht hilft dir auch meine Antwort bei diesem Thread hier.


Wirkungsquantum
Aktiv
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 797
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-01 00:03

Hallo,
sorry für die ziemlich verzögerte Rückmeldung (hatte vor lauter stress keinen passenden Augenblick dafür gefunden und es danach vergessen).

2020-10-26 10:13 - Red_ in Beitrag No. 7 schreibt:
Vielleicht hilft dir auch meine Antwort bei diesem Thread hier.
Vielen Dank! Das Thema ist durch eure Hilfe schon deutlich klarer geworden.

Grüße
h




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=249663=402505
Druckdatum: 2021-01-27 07:51