Forum:  Analysis
Thema: Monotone Teilfolgen haben denselben Grenzwert
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WagW
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Themenstart: 2020-10-17 20:42

Hallo zusammen,

sei $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine monotone Funktion und $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge mit $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$.

Ist es möglich, dass zwei monoton steigende Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ zwei verschiedene (endliche) Grenzwerte produzieren, wenn man sie in $f$ einsetzt?

Mein Beweis:

OBdA sei $f$ monoton steigend (ist $f$ monoton fallend verfährt man analog).

Seien $\left(c_{n_j}\right)_{j\in\mathbb{N}}$ und $\left(d_{n_i}\right)_{i\in\mathbb{N}}$ zwei monoton steigende Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$, welche wir in $f$ einsetzen. Die so entstehenden Teilfolgen $\left(f(c_{n_j})\right)_{j\in\mathbb{N}}$ und $\left(f(d_{n_i})\right)_{i\in\mathbb{N}}$ sind dann monoton steigend. Wir nehmen nun an, dass $\lim\limits_{j\to\infty}f(c_{n_j})=c$, $\lim\limits_{i\to\infty}f(d_{n_i})=d$ und $\epsilon:c-d>0$. Aufgrund der Konvergenz finde ich einen Index $j_0$, sodass für alle Folgenglieder mit $j>j_0$ und $i>j_0$ gilt: $|f(c_{n_j})-c|<\frac{\epsilon}{2}$ und $|f(d_{n_i})-d|<\frac{\epsilon}{2}$. Es folgt dann $f(d_{n_i})<d+\frac{\epsilon}{2}=c-\frac{\epsilon}{2}<f(c_{n_j})\implies f(d_{n_i})<f(c_{n_j})$ für alle $j>j_0$ und $i>j_0$. Beide Folgen $\left(c_{n_j}\right)_{j\in\mathbb{N}}$ und $\left(d_{n_i}\right)_{i\in\mathbb{N}}$ streben gegen $\infty$, daher finden wir zwei $c_{n_j}$ und $d_{n_i}$, sodass $j_0<j,j_0<i$ und $c_{n_j}\leq d_{n_i}$. Da $f$ monoton steigend ist, folgt daraus wiederum $f(c_{n_j})\leq f(d_{n_i})$. Dies ist aber ein Widerspruch, da wir für alle $j>j_0$ und $i>j_0$ vorausgesetzt hatten, dass $f(c_{n_j})> f(d_{n_i})$ gilt. Also kann $c>d$ nicht gelten. Den Fall $c<d$ handelt man analog ab, sodass am Ende nur noch $c=d$ gelten kann.

Ist das so korrekt? Intuitiv ist diese Aussage ja einleuchtend, aber der Beweis scheint mir mit den ganzen Indices etwas kompliziert. Vielleicht gibt es eine schnellere/elegantere Möglichkeit?

viele Grüße
WagW


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-17 20:58
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

man könnte argumentieren, dass ab einem \( n_0\) die \( a_n>0\) sind, und dann konvergiert die Folge der Kehrwerte gegen Null, und jede Teilfolge auch.

Wenn dann \( (a_n)\) eine Teilfolge mit einem anderen Grenzwert hätte, hätten die Kehrwerte auch einen Grenzwert ungleich Null.

Die Idee ist, einen (hoffentlich) bekannten Satz über konvergente Folgen zu benutzen. Die Monotonie braucht man nicht.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

WagW
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Dabei seit: 15.02.2018
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-17 22:36

Hallo Wally,

wir  wissen bereits, dass alle Teilfolgen einer konvergenten Folge denselben Grenzwert haben. Also kann ich auf diese Weise einen Widerspruch viel schneller/einfacher erzeugen.

Danke und viele Grüße

WagW


WagW
Aktiv
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-18 13:30

Hallo Wally,

ich muss nochmal zurückrudern, da ich glaube, dass Du meine Frage nicht richtig verstanden hast. Das ist mir aber gestern zu später Stunde gar nicht mehr aufgefallen.

Es geht nicht darum, ob zwei Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ unterschiedliche Grenzwerte haben können, sondern ob man zwei unterschiedliche Grenzwerte erhalten kann, wenn man zwei Teilfolgen von $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ in $f$ einsetzt und dann die beiden Folgen der Bilder betrachtet. Die Frage ist also: Können diese beiden Folgen der Bilder unterschiedliche Grenzwerte haben?

viele Grüße
WagW




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Druckdatum: 2020-11-24 12:36