Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Konvergenz Markov-Kette
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SophiaS
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Themenstart: 2020-10-20 18:12

Hallo,
ich verstehe eine Musterlösung zu einer Aufgabe nicht.

Gegen ist eine irreduzibel periodische Markovkette mit invarianter Verteilung
$ \pi = (\pi_1, \pi_2, \pi_3) ^T$ und berechnet werden soll
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{P(X_n = 0 , X_0 = 2)}$ sowie
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{P(X_n = 2 , X_0 = 1)}$.

Die Lösung lautet:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{P(X_n = 0 , X_0 = 2)} = \pi_1$
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{P(X_n = 2 , X_0 = 1)} = \pi_2$


Nun wäre mir dieser Ergebnis klar, wenn die Kette aperiodisch wäre, denn irreduzible, aperiodische Markov Ketten konvergieren, unabhängig ihrer Startverteilung, gegen ihre invariante Verteilung, aber die MK ist periodisch, übersehe ich eine Definition?

LG
Sophia


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20 21:01

Huhu Sophia,

Du tust recht daran, Dich zu wundern. Die Lösung ist falsch (und die Aufgabe ziemlich sinnlos).

Betrachte als Gegenbeispiel etwa die Übergangsmatrix $ P = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ \end{array} \right )^T $ mit $\pi=(0.25, 0.25, 0.5)^T$.

Selbst wenn man mit der stationären Verteilung in $t=0$ startet, stimmen die "Lösungen" nicht.

lg, AK.


Anmerkung: Üblicherweise schreibt man die Verteilungen als Zeilenvektoren und die Übergangsmatrix als zeilenstochastische Matrix; Du machst es hier anders - das ist natürlich ok. Es soll nur erklären, warum ich hier alles transponiere.


SophiaS
Aktiv
Dabei seit: 04.06.2019
Mitteilungen: 37
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21 06:14

Hey AnnaKath,
danke für die Antwort.

LG
Sophia




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Druckdatum: 2021-01-19 16:04