Forum:  Logik, Mengen & Beweistechnik
Thema: A Property of Any Two Sets
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jppollmeier
Junior
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Themenstart: 2020-10-20 21:14



Ich habe über Google rausgefunden, dass man den Term auf der rechten Seite wohl Symmetrische Differenz von B und C nennt.

Mein Ansatz zu dieser Aufgabe wäre jetzt gewesen einen Term C = " asdkfj " zu suchen und diesen einzusetzen. Danach das ganze auflösen bis auf der rechten Seite auch A steht.

Nun zu meiner Frage, gibt es eine Möglichkeit auf diesen Term zu kommen oder ist das reine Intuition/Ausprobieren?

Mit freundlichen Grüßen, ein hilfloser Student.


Triceratops
Aktiv
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20 21:23

Tipp: die symmetrische Differenz $+$ ist eine Gruppenverknüpfung mit neutralem Element $ 0 = \emptyset$ und Inversen $-A = A$. Es reicht also sich zu überlegen, dass in einer beliebigen Gruppe die Gleichung $A=B+C$ stets (eindeutig) nach $C$ auflösbar ist.


jppollmeier
Junior
Dabei seit: 20.10.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20 21:38

2020-10-20 21:23 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Tipp: die symmetrische Differenz $+$ ist eine Gruppenverknüpfung mit neutralem Element $ 0 = \emptyset$ und Inversen $-A = A$. Es reicht also sich zu überlegen, dass in einer beliebigen Gruppe die Gleichung $A=B+C$ stets (eindeutig) nach $C$ auflösbar ist.

Okay also es wird einen Term der C geben der von A und B abhängt. Ich habe probiert das ganze mal mit Venn-Diagrammen aufzuzeichnen und mit Quantoren auszuformulieren.

$C = \forall x | ( (x \in A \land x \in B)         \rightarrow x \notin C) \land ( (x \in A \land x \notin B)         \rightarrow x \in C) \land ( (x \notin A \land x \in B)         \rightarrow x \in C) $

Also ich hab mir das jetzt nochmal länger angeschaut und es sieht aus wie die Symmetrische Differenz zwischen A und B, kann das sein?


tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-20 22:45

2020-10-20 21:38 - jppollmeier in Beitrag No. 2 schreibt:
Also ich hab mir das jetzt nochmal länger angeschaut und es sieht aus wie die Symmetrische Differenz zwischen A und B, kann das sein?
Ausprobieren!


jppollmeier
Junior
Dabei seit: 20.10.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20 23:07

2020-10-20 22:45 - tactac in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-10-20 21:38 - jppollmeier in Beitrag No. 2 schreibt:
Also ich hab mir das jetzt nochmal länger angeschaut und es sieht aus wie die Symmetrische Differenz zwischen A und B, kann das sein?
Ausprobieren!

Also ich hab mir das nochmal angeschaut und das scheint richtig zu sein, wie beweise ich das jetzt am besten? Mit double inclusion?


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-20 23:13

Huhu,

Du könntest z.B. $C$ explizit angeben (und triceratops hat Dir in #1 gezeigt, wie man diese Menge sehr übersichtlich konstruiert und die behauptete Beziehung zeigt).

lg, AK.


jppollmeier
Junior
Dabei seit: 20.10.2020
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20 23:17

2020-10-20 23:13 - AnnaKath in Beitrag No. 5 schreibt:
Huhu,

Du könntest z.B. $C$ explizit angeben (und triceratops hat Dir in #1 gezeigt, wie man diese Menge sehr übersichtlicher konstruiert und die behauptete Beziehung zeigt).

lg, AK.

Vielen Dank, ich verstehe nur nicht warum man aufgrund der Tatsache dass die Symmetrische Differenz eine Gruppenverknüpfung ist, schliessen kann das jede Gleichung $A = B + C$ lösbar ist.


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-20 23:29

Huhu,

2020-10-20 23:17 - jppollmeier in Beitrag No. 6 schreibt:
Vielen Dank, ich verstehe nur nicht warum man aufgrund der Tatsache dass die Symmetrische Differenz eine Gruppenverknüpfung ist, schliessen kann das jede Gleichung $A = B + C$ lösbar ist.

Das kann man natürlich auch nicht.

Du kannst aber überlegen, wie man die Gleichung $A = B + C$ in einer beliebigen Gruppe nach $C$ auflöst und dies dann für Deine konkrete Situation nutzen.

Wäre die betrachtete Gruppe etwa $(\mathbb{R}^+, \cdot)$, so würde man $a=bc$ auflösen zu $c=b^{-1}a$. Genau dies tust Du nun in Deiner betrachteten Gruppe.
Es ist nur viel einfacher und klarer, wenn Du das in dem abstrakteren Rahmen tust und es nachher wieder in Mengen und symmetrische Differenzen "zurückübersetzt".

lg, AK.


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-10-21 02:20

Huhu,

manchmal möchten Menschen ja nur rasch eine Idee googeln; der Themensteller (wie auch alle Kommilitonen an der ETH) musste ja bereits seine Übungsaufgabe abgeben; und ich hasse Unvollendetes...

Wählt mal also $C=-B+A \:\: (=B+A)$ bzw. $C=(A/B)\cup(B/A)$, so ist es einfaches Nachrechnen*: $B+C=B-B+A=A$.

lg, AK.


Ich habe stillschweigend die Kommutativität der Vereinigung benutzt; und für den Nachweis der Gruppeneigenschaften muss man z.B. insbesondere noch die Assoziativität nachweisen; aber hier geht es wohl auch nur darum, eine Idee zu entwickeln wie $C$ "aussieht".


jppollmeier
Junior
Dabei seit: 20.10.2020
Mitteilungen: 5
Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21 17:54

2020-10-21 02:20 - AnnaKath in Beitrag No. 8 schreibt:
Huhu,

manchmal möchten Menschen ja nur rasch eine Idee googeln; der Themensteller (wie auch alle Kommilitonen an der ETH) musste ja bereits seine Übungsaufgabe abgeben; und ich hasse Unvollendetes...

Wählt mal also $C=-B+A \:\: (=B+A)$ bzw. $C=(A/B)\cup(B/A)$, so ist es einfaches Nachrechnen*: $B+C=B-B+A=A$.

lg, AK.


Ich habe stillschweigend benutzt, dass die Gruppe sogar abelsch ist; und für den Nachweis der Gruppeneigenschaften muss man z.B. insbesondere noch die Assoziativität nachweisen; aber hier geht es wohl auch nur darum, eine Idee zu entwickeln wie $C$ "aussieht".


Vielen Dank für die Bemühungen, Gruppen und deren Eigenschaften haben wir an sich noch nicht angeschaut deswegen habe ich mich vielleicht etwas hilflos aufgeführt.

Für die die es interessiert hier die Lösungen von der, ja richtig, ETH:








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Druckdatum: 2021-01-19 22:42