Forum:  Mathematische Physik
Thema: Funktionalableitung
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6Incognito9
Aktiv
Dabei seit: 14.07.2012
Mitteilungen: 81
Themenstart: 2020-10-20 21:59

Hallo,

Koennte mir jemand diese Rechnung erklären? Ich wäre sehr dankbar.



Ich komme einfach nicht drauf, wie der zweite Schritt gemacht wurde, wo g' reinkommt. Und im Internet habe ich auch nichts gefunden, was helfen wuerde.

Im Buch ist so die funktionale Ableitung definiert.



LG





sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 268
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-20 22:27

Hallo 6Incognito9,

ich schätze mal, dass hier einfach eine formale Taylor-Entwicklung benutzt wurde: \[g(f(x)+\varepsilon\delta(x-x_0))=g(f(x))+\varepsilon\delta(x-x_0)g'(f(x))+o(\varepsilon)\] für \(\varepsilon\to0\). Der letzte Term geteilt durch \(\varepsilon\) verschwindet für \(\varepsilon\to0\), daher taucht er in Deinen Formeln gar nicht mehr auf.

Dir muss aber klar sein, dass diese Rechnung mathematisch gesehen vollkommen unsinnig ist, da die Delta Distribution von Physikern einfach wie eine Funktion verwendet wird, was falsch ist.


PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2279
Herkunft: Wien / Leipzig
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-21 08:39

2020-10-20 22:27 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Dir muss aber klar sein, dass diese Rechnung mathematisch gesehen vollkommen unsinnig ist, da die Delta Distribution von Physikern einfach wie eine Funktion verwendet wird, was falsch ist.

Nein, das ist ein weit verbreitetes Missverständnis im Zusammenhang mit "Delta-Funktionen". Notation darf nicht mit fehlender mathematischer Strenge verwechselt werden. Die Rechnung ist absolut rigoros, wenn die Ausdrücke (wie es sein sollte) symbolisch verstanden werden -- man sagt "im Sinne von Distributionen", d.h. die Ausdrücke werden als Integralkerne aufgefasst, und die Integration gegen Testfunktionen wird implizit verstanden.

Richtig ist natürlich, dass das die wenigsten Physiker wissen bzw. sich für diese mathematischen Feinheiten interessieren. Das ist aber unabhängig von der Tatsache, dass die Rechnung mathematisch sehr wohl sinnvoll ist, wenn man den Ausdrücken die richtige Bedeutung zuschreibt. Und dies geschieht keineswegs willkürlich, sondern folgt einem exakten, konsistenten "Regelwerk". So ist das bei jeder Art von Notation.

Grüße,
PhysikRabe


6Incognito9
Aktiv
Dabei seit: 14.07.2012
Mitteilungen: 81
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-21 10:09

Alles klar! Vielen Dank ihre beide :) Ich bin immer wieder begeistern von diesem Forum 👍


Skalhoef
Aktiv
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 206
Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-04 10:15

Hi,

ich denke ich kann noch etwas Wissenswertes zu diesem Thema beitragen:

Ich persönlich sehe diese Definition der funktionalen Ableitung ja gerne als "Eselsbrücke" um die Terme in der Taylor-Entwicklung zu ermitteln. (Hier ein kleiner Ausschnitt aus "Condensed Matter Field Theory")



Ich habe auch schön öfter erlebt, dass man als zusätzliche Bedingung fordert, dass die Funktion $g$ in jedem Punkt eine Potenzreihenentwicklung besitzt. So, wie ich das als Mathematik-Banause lese, steht das da ja auch zwischen den Zeilen.

@sonnenschein96 : Wenn dir solche Rechnungen schon Unbehagen bereiten, dann schau mal ins Buch von Peskin und Schroeder. Da findest du die richtigen Knaller.


Grüße
Skalhoef


6Incognito9
Aktiv
Dabei seit: 14.07.2012
Mitteilungen: 81
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-08 15:27

2021-01-04 10:15 - Skalhoef in Beitrag No. 4 schreibt:
Hi,

ich denke ich kann noch etwas Wissenswertes zu diesem Thema beitragen:

Ich persönlich sehe diese Definition der funktionalen Ableitung ja gerne als "Eselsbrücke" um die Terme in der Taylor-Entwicklung zu ermitteln. (Hier ein kleiner Ausschnitt aus "Condensed Matter Field Theory")



Ich habe auch schön öfter erlebt, dass man als zusätzliche Bedingung fordert, dass die Funktion $g$ in jedem Punkt eine Potenzreihenentwicklung besitzt. So, wie ich das als Mathematik-Banause lese, steht das da ja auch zwischen den Zeilen.

@sonnenschein96 : Wenn dir solche Rechnungen schon Unbehagen bereiten, dann schau mal ins Buch von Peskin und Schroeder. Da findest du die richtigen Knaller.


Grüße
Skalhoef

Ah ja, das ist notiere ich mir. Danke!




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Druckdatum: 2021-01-19 15:36