Forum:  Systeme von DGL
Thema: Unabhängigkeit der Wronski-Spaltenvektoren
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Phoensie
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Themenstart: 2020-10-22 21:56
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallöchen miteinander!

Wir betrachten eine gewöhnliche Differentialgleichung mit homogenem Fundamentalsystem $\{\varphi_1,\ldots,\varphi_n\} \subset$ von Funktionen $I \to \mathbb{R}$, mit $I \subseteq \mathbb{R}$.

Definition. Die Wronski-Matrix der Abbildungen $\varphi_1,\ldots,\varphi_n:I \to \mathbb{R}$ sei die $n \times n$-Matrix
\[
    \begin{align*}
        W(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)(t)
        :=
        \begin{pmatrix}
            \varphi_1 & \cdots & \varphi_n \\
            \dot{\varphi}_1 & \cdots & \dot{\varphi}_n \\
            \vdots & \ddots & \vdots \\
            \varphi_1^{(n-1)} & \cdots & \varphi_n^{(n-1)} \\
        \end{pmatrix}
    \end{align*}
\]
Aufgabe: $W(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)(t)$ ist invertierbar für alle $t\in I$.

Beweisansatz.
Um zu zeigen, dass die Spaltenvektoren linear unabhängig sind für ein gegebenes $t \in I$, soll ich die Evaluationsabbildung $\mathrm{eval}_t: \mathcal{L}_{\mathrm{hom}} \to \mathbb{R}^n$, definiert durch
\[
    \begin{align*}
        \mathrm{eval}_t(\varphi) = \left(\varphi(t),\dot{\varphi}(t),\ldots,\varphi^{(n-1)}(t)\right)
    \end{align*}
\] betrachten.

Für die Linearkombination der Spaltenvektoren setzen wir
\[
    \begin{align*}
        \sum_{k=1}^n \lambda_k(t) \mathrm{eval}_t(\varphi_k) = 0
    \end{align*}
\] mit Koeffizienten $\lambda_k: I \to \mathbb{R}, \forall k.$ Zu zeigen ist nun, dass hieraus $\lambda_1(t) \equiv \ldots \equiv \lambda_n(t) \equiv 0$ folgt.

Doch wie mache ich das?
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Druckdatum: 2021-01-25 15:36