Phoensie
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Mitteilungen: 270
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2020-10-22 21:56
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallöchen miteinander!
Wir betrachten eine gewöhnliche Differentialgleichung mit homogenem Fundamentalsystem $\{\varphi_1,\ldots,\varphi_n\} \subset$ von Funktionen $I \to \mathbb{R}$, mit $I \subseteq \mathbb{R}$.
Definition. Die Wronski-Matrix der Abbildungen $\varphi_1,\ldots,\varphi_n:I \to \mathbb{R}$ sei die $n \times n$-Matrix
\[
\begin{align*}
W(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)(t)
:=
\begin{pmatrix}
\varphi_1 & \cdots & \varphi_n \\
\dot{\varphi}_1 & \cdots & \dot{\varphi}_n \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\varphi_1^{(n-1)} & \cdots & \varphi_n^{(n-1)} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}
\]
Aufgabe: $W(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)(t)$ ist invertierbar für alle $t\in I$.
Beweisansatz.
Um zu zeigen, dass die Spaltenvektoren linear unabhängig sind für ein gegebenes $t \in I$, soll ich die Evaluationsabbildung $\mathrm{eval}_t: \mathcal{L}_{\mathrm{hom}} \to \mathbb{R}^n$, definiert durch
\[
\begin{align*}
\mathrm{eval}_t(\varphi) = \left(\varphi(t),\dot{\varphi}(t),\ldots,\varphi^{(n-1)}(t)\right)
\end{align*}
\]
betrachten.
Für die Linearkombination der Spaltenvektoren setzen wir
\[
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n \lambda_k(t) \mathrm{eval}_t(\varphi_k) = 0
\end{align*}
\]
mit Koeffizienten $\lambda_k: I \to \mathbb{R}, \forall k.$ Zu zeigen ist nun, dass hieraus $\lambda_1(t) \equiv \ldots \equiv \lambda_n(t) \equiv 0$ folgt.
Doch wie mache ich das?\(\endgroup\)
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