Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Minimum von quadratischen konvexen Funktionen
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mbInfoStudent
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Themenstart: 2020-10-23 20:49

Meine Frage ist, ob quadratische Funktionen die (streng) konvex sind, immer ein Minimum haben? Wenn ja, wie wäre der Beweisansatz dafür?
Ich hatte darüber gedacht, den Satz von Weierstraß als Hilfe zu nehmen, jedoch ist der Interval nicht immer kompakt. Somit wäre der Satz nicht für das folgende Problem anwendbar:
$\min_{x\in\mathbb{R}^n} f(x)$
wobei $f$ konvex und (streng) quadratisch ist.


zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-23 22:32

2020-10-23 20:49 - mbInfoStudent im Themenstart schreibt:
Ich hatte darüber gedacht, den Satz von Weierstraß als Hilfe zu nehmen, jedoch ist der Interval nicht immer kompakt.

Wenn eine quadratische Funktion $f(x)=x^TA\,x+b^Tx+c$ streng konvex ist, ist die Matrix $A$ positiv definit. Daraus folgt $\lim_{|x|\to\infty}f(x)=\infty$. Es gibt daher ein $R$ mit $f(x)>f(0)$ für $|x|>R$ und man kann sich bei der Suche nach einem Minimum auf die kompakte Menge $\{x:|x|\le R\}$ beschränken. Dadurch wird der Satz von Weierstraß anwendbar.

Konvexität allein reicht nicht, wie die Funktion $\mathbb R^2\to\mathbb R$, $(x,y)\mapsto x^2+y$ zeigt.

--zippy


mbInfoStudent
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24 01:38

Warum gilt für eine quadratische Funktion, wobei Matrix $A$ positiv definit ist, dass $\lim_{x\to\infty}f(x) \to \infty$? Denn das führt ja wohl dazu, dass nur streng konvex ein Minimum garantiert.


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24 07:57

2020-10-24 01:38 - mbInfoStudent in Beitrag No. 2 schreibt:
Warum gilt für eine quadratische Funktion, wobei Matrix $A$ positiv definit ist, dass $\lim_{x\to\infty}f(x) \to \infty$?

Eine positiv definite Matrix hat einen kleinsten Eigenwert, und der ist positiv. Daher ist die quadratische Form $x\mapsto x^TA\,x$ koerzitiv.

Und für $|x|\to\infty$ wächst diese qudratische Form schneller als der Rest $b^Tx+c$, so dass auch $f(x)\to\infty$.


mbInfoStudent
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24 15:06

Danke vielmals.




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Druckdatum: 2021-01-24 06:07