Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Erwartungswert einer stetigen Größe zum Quadrat
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paulster
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Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 87
Herkunft: Wien
Themenstart: 2020-10-24 12:16

Hallo Leute,

wie berechnet man denn allgemein den Erwartungswert einer quadrierten stetigen stochastischen Zufallsgröße? Also wenn man z.B. $E[X]$ gegeben hat und $E[X^2]$ berechnen möchte ?

LG Paul


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6617
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-24 12:24
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ganz einfach: \(\ds E[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 f_X(x)\on{dx}}\).

Man nennt diesen Erwartungswert auch das zweite Moment der Zufallsgröße \(X\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5558
Herkunft: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-24 12:27

$E[X^2]$ hängt nicht nur von $E[X]$ ab. Wenn $f$ eine Dichte der Verteilung von $X$ ist, dann gilt $E[X^k] = \int x^k f(x) \, dx$.
 
en.wikipedia.org/wiki/Moment_%28mathematics%29
 
Was möchtest du wirklich wissen? Geht es um konkrete Zufallsvariablen, wo du die Werte berechnen möchtest?



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 458
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-24 12:56

Moin, eine zweite (aequivalente) Moeglichkeit besteht darin, die Dichte $g$ der Verteilung von $X^2$ zu bestimmen. Dann ist

\[\operatorname{E}[X^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}t\,g(t)\,dt\]
vg Luis


paulster
Aktiv
Dabei seit: 27.09.2020
Mitteilungen: 87
Herkunft: Wien
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-24 16:23

Danke für eure Antworten, das hat mir sehr weitergeholfen.
Tatsächlich musste ich die Varianz einer Zufallsgröße $T_{16}$ bestimmen, wobei vorausgesetzt war, dass das Sterbegesetz von de Moivre gilt, also ein Beispiel aus der Lebensversicherungsmathematik.

LG Paul, schönes Wochenende !




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Druckdatum: 2021-04-22 06:19