Forum:  Graphentheorie
Thema: Paper zu Cayley-Graphen
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dvdlly
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Themenstart: 2020-10-24 20:54

Hallo,

Ich habe wieder eine Frage zu einem Paper, hier der link:
arxiv.org/pdf/2003.13166.pdf

Die Frage:
In Beweis von Theorem \(2.1\) steht:
"...the linear map \(A\) is onto. Thus, for all \(g \in G\), \(A^{-1}(g)\) has size \(m^d/\mid G \mid\)."

Ich verstehe nicht warum. Kann mir das jemand (relativ) kleinschrittig erläutern?

Danke!


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 565
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-25 09:26

Hallo,

Um die Frage so zu schreiben, dass man das Papier nicht benötigt:

Ist $A: H\to G$ ein surjektiver gruppenhomomorphismus, so besitzt für jedes $g\in G$ das Urbild unter A genau $\frac {|H|}{|G|}$ viele Elemente.

Angenommen , h ist ein Urbild von g. Kannst du abhängig von h das Urbild von g hinschreiben? Bzw: wenn h‘ ein weiteres Urbild haben, was passiert dann mit h-h‘ wenn man A anwendet

Grüße
Creasy


dvdlly
Aktiv
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 98
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25 11:12

Hi,

Danke für deine Antwort. Ich vermute du willst darauf hinaus, dass jedes \(h'\) im kern von \(A\) liegen muss?

Also sei \(h \in A^{-1}(g)\) dann ist \(A^{-1}(g) = h + kern(A)\).
Mit \(h - h'\) passiert das hier \(A(h - h') = 0\).

Mir ist noch nicht ersichtlich, wie man auf \(\frac{\mid H \mid}{\mid G \mid}\) kommt.


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 565
Herkunft: Bonn
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-25 11:49

Jo,

h‘ selbst liegt nicht im Kern sondern die Differenz: h-h‘.
Genau: das Urbild ist h+ ker(A). Diese Menge besitzt genauso viele Elemente wie ker(A).

Nun brauchen wir eine Beziehung zwischen dem Kern einer Abbildung, seinem Bild und vielleicht noch G und H, der homormorphiesatz zum Beispiel. Was fällt dir da so ein?


dvdlly
Aktiv
Dabei seit: 28.12.2016
Mitteilungen: 98
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-25 13:44

Danke für deine Geduld,

Ich hab auch schon an den Homomorphiesatz gedacht - \(H_{/kern(A)}\cong Bild(A) = G\).

Ahh ich bin nicht darauf gekommen, dass man die Gleichung zu \(\frac{\mid H \mid}{\mid G \mid} = kern(A)\) umformen kann...

tausend Dank :)




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Druckdatum: 2021-04-15 18:12