Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Erwartungswert von Funktion hoch Zufallsvariable
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paulster
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Themenstart: 2020-10-24 21:36

Hallo Leute,

v ist eine Funktion für den sogenannten Diskontierungsfaktor und $T_{x}$ eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter $\lambda > 0, x \geq 0$. Man soll jetzt den Erwartungswert $E[v^{T_{x}}]$ bestimmen, aber wie soll ich das machen? .Kann man das irgendwie umschreiben oder vereinfachen? Darf ich da statt dem $T_{x}$ einfach die Exponentialverteilung einsetzen und dann das Integral berechnen? Ich komme dann nämlich auf $\int_{0}^{\infty}v^{\lambda*e^{-\lambda*x}} dx$, aber das ist vermutlich falsch, oder ?

LG Paul


sonnenschein96
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Dabei seit: 26.04.2020
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26 09:40

Hallo paulster,

sei zunächst \(v\) eine positive reelle Zahl und \(T_x\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\) mit \(\lambda>0\) (Die Verteilung von \(T_x\) soll wohl unabhängig von \(x\) sein).

Dann gilt \(E[v^{T_x}]=\int_0^\infty v^y\lambda e^{-\lambda y}\,dy\), siehe hierzu de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswerte_von_Funktionen_von_Zufallsvariablen mit \(g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definiert durch \(g(y):=v^y\). Damit das Integral endlich ist, muss \(v<e^\lambda\) sein.

Für den Fall, dass \(v\) eine Funktion ist, ist mir nicht ganz klar, was Du mit \(E[v^{T_x}]\) meinst. Gilt \(v\colon\mathbb{R}\to(0,\infty)\) und Du möchtest \(E[(v(t))^{T_x}]\) für alle \(t\in\mathbb{R}\) bestimmen? In diesem Fall wäre einfach \(E[(v(t))^{T_x}]=\int_0^\infty (v(t))^y\lambda e^{-\lambda y}\,dy=\frac{\lambda}{\lambda-\log(v(t))}\) (falls \(v(t)<e^\lambda\)).


paulster
Aktiv
Dabei seit: 27.09.2020
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Herkunft: Wien
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26 10:28

Guten Morgen Sonnenschein (XD),

danke zunächst für deine Antwort. Ich denke, dass dein Beitrag oberhalb des Links des Rätsels Lösung ist, denn so ist es möglich, das Ganze zu vereinfachen.
Ich bin mir nur bei dem Schritt $E[v^{T_{x}}] = \int_{0}^\infty v^y \lambda e^{-\lambda y} dy$ unsicher. Meintest du in dem Link den Beitrag "Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen" ?

(An der Stelle sry, dass ich nichts genaueres dazu gesagt habe, es ist nur so, dass in Lebensversicherungsmathematik viele Definitionen weit verstreut sind und zum vollen Verständnis hätte ich dann wohl zu viel posten müssen ... ).

LG Paul


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 273
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-26 11:30

2020-10-26 10:28 - paulster in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich bin mir nur bei dem Schritt $E[v^{T_{x}}] = \int_{0}^\infty v^y \lambda e^{-\lambda y} dy$ unsicher.
Wieso? Du musst ja eigentlich nur das \(g\) welches ich definiert hatte einsetzen:
\[E[v^{T_{x}}] = E[g(T_x)]= \int_{-\infty}^\infty g(y) f_{T_x}(y)\,dy = \int_{0}^\infty v^y \lambda e^{-\lambda y} \,dy,\] wobei \(f_{T_x}\) die Dichte von \(T_x\) ist.

2020-10-26 10:28 - paulster in Beitrag No. 2 schreibt:
Meintest du in dem Link den Beitrag "Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen" ?
Also die Frage finde ich komisch :P "Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen" steht doch sogar im Link drin ;D Also ja, ich meinte genau den Beitrag, welchen ich verlinkt habe.


paulster
Aktiv
Dabei seit: 27.09.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26 12:10

Kenn mich schon aus, danke für deine Hilfe 👍😄





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Druckdatum: 2021-01-22 19:58