Forum:  Grenzwerte
Thema: Landau-Symbol im Zähler und Nenner
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MAlipe
Junior
Dabei seit: 01.07.2020
Mitteilungen: 8
Themenstart: 2020-10-26 16:17

Hallo zusammen,

ich möchte folgendes zeigen:

$\frac{f(x)+O(h_n)}{1+O(h_n)} =f(x)+O(h_n)$, wobei $h_n\longrightarrow 0$ für $n \longrightarrow \infty$.

Ich weiß, dass $\frac{1}{1+O(h_n)}=1+O(h_n)$ gilt.
Damit würde ich obiges so umschreiben können:

$\frac{f(x)+O(h_n)}{1+O(h_n)}=(f(x)+O(h_n))(\frac{1}{1+O(h_n)})= (f(x)+O(h_n))(1+O(h_n))= f(x)+f(x)O(h_n)+O(h_n)+(O(h_n))^2$.

Ich glaube, dass für ein festes $x$ gilt: $f(x)O(h_n)=O(f(x) h_n)= O(h_n)$
und damit $2 O(h_n)=O(h_n)$ gilt. Aber ist nicht $(O(h_n))^2=O(h_n)O(h_n)=O(h_n h_n)=O(h^2_n)$? Dann gilt meine obige Aussage nämlich nicht.

Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?



Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1924
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26 20:23

Huhu MAlipe,

es ist \(\mathcal{O}(x)+\mathcal{O}(x^2)=\mathcal{O}(x)\) für \(x \to 0\). Für \(x \to \infty\) ist \(\mathcal{O}(x)+\mathcal{O}(x^2)=\mathcal{O}(x^2)\).

Gruß,

Küstenkind


MAlipe
Junior
Dabei seit: 01.07.2020
Mitteilungen: 8
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27 10:34

Vielen Dank Küstenkind! Die Information hat mir gefehlt.


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1924
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-27 16:20

Huhu MAlipe,

gerne! Siehe dazu allgemein: en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Sum

Gruß,

Küstenkind





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Druckdatum: 2021-01-18 18:33