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Thema: Ungleichungsnachweis mit Folge und Grenzwert
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Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 535
Herkunft: f(x=0)=1/x
Themenstart: 2020-10-26 17:00

Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Wobei mich jetzt erstmal die Aufgabe a) interessiert.
Da ist nämlich das Problem, dass ich keine Ahnung habe was ich machen soll.
Wir wissen, der Grenzwert der Folge \(e\) entspricht.
Ich weiß, wenn ich mich nicht vertue, dass bereits ab \(m\geq1\) die Ungleichung gültig ist.
Aber das ist keine bahnbrechende Entdeckung und hilft mir nicht weiter.
Mit dem Hinweis kann ich leider überhaupt nichts anfangen, tut mir Leid.

Welche Definition soll ich denn überhaupt verwenden?

Könnt ihr mir hierbei weiterhelfen?

Liebe Grüße
Spedex


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5708
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-26 17:27
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die a) ist total simpel, wenn ich das richtig sehe. Den Grenzwert darfst du verwenden, also gilt sicherlich:

\[\forall\varepsilon>0:\ \exists N\in\IN:\ \dotsc\]
Versuche einmal selbst herauszufinden, was jetzt noch fehlt. Es geht um die Anwendung der Definition der Folgenkonvergenz, die du bereits kennst. Und du kennst den ungefähren Wert von \(\on{e}\approx 2.7\). Dieser liegt also insbesondere zwischen \(2\) und \(3\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 535
Herkunft: f(x=0)=1/x
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26 18:35

Also die Schreibweise ist echt schwer zu lesen für mich.
Für \(\varepsilon\) größer 0 gibt es ein \(N\) Element der natürlichen Zahlen, für das gilt: ...

Na gut, grundsätzlich schaut die Definition ja so aus:
\[N(\varepsilon):\left|a_m-e\right|<\varepsilon\]
Sprich:
\[\forall\varepsilon>0:\ \exists N\in\IN:\ N(\varepsilon):\left|a_m-e\right|<\varepsilon\]
Soll ich jetzt mit dieser Definition ein geeignetes \(\varepsilon\) wählen und dann \(m\) ermitteln?
Also, dass ich beispielsweise \(\varepsilon\) mit \(0,2\) auswähle.


LG


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5708
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-26 18:41
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nein, du hast die Aufgabe bisher völlig missverstanden. Du musst das auch nicht mittels Quantoren schreiben, wenn es dir nicht liegt.

Mit den gegebenen Informationen weißt du bereits, dass es zu jedem \(\varepsilon>0\) eine natürliche Zahl \(M\) gibt, so dass für alle \(m>M\) (oder \(m\ge M\), das ist wie gesagt Geschmacksache) die Ungleichung

\[\left|\left(1+\frac{1}{m}\right)^m-\on{e}\right|<\varepsilon\]
gilt. Und das musst du jetzt irgendwie benutzen, um die Behauptung aus Teil a) zu verifizieren. Wie (also in welcher Form) du das tust bzw. tun sollst, das weißt du sicherlich am besten.

2020-10-26 18:35 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Soll ich jetzt mit dieser Definition ein geeignetes \(\varepsilon\) wählen und dann \(m\) ermitteln?

Nein. Du weißt wie gesagt, dass es zu jedem \(\varepsilon\) ein solches \(m\) gibt. Denn du darfst bzw. sollst laut Themenstart den Grenzwert

\[\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m=\on{e}\]
ja ausdrücklich verwenden.


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1121
Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-26 19:41
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2020-10-26 18:35 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Na gut, grundsätzlich schaut die Definition ja so aus:
\[N(\varepsilon):\left|a_m-e\right|<\varepsilon\]

Was soll das überhaupt bedeuten?
\(\endgroup\)

Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 535
Herkunft: f(x=0)=1/x
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-26 21:01

Ihr denkt ja, ich würde mich entweder dumm stellen oder hätte einfach keine Lust nachzudenken, aber irgendwie tu ich mir bei diesen ganzen Dingen einfach echt schwer. Ich komm einfach nicht drauf, egal was ich mache. Ich lese mir eure Beiträge erneut und erneut durch, Wort für Wort, Zeile für Zeile. Ich schreibe sämtliche Sachen auf, was mir auch nur so einfällt. Doch bei manchen Sachen, wie beispielsweise dieses Beispiel hier, weiß ich nicht einmal was ich aufschreiben soll.
In der Schule hatte ich überhaupt keine Probleme mit Mathematik, jetzt läuft das Studium seit nicht einmal einem Monat und ich komm mir vor, als wäre mein IQ beinahe halbiert worden.

Wie auch immer.
Ich weiß, dass es ein gewissen \(m\) geben muss. Wie kann ich jedoch diese Information so verarbeiten, dass ich dann zeige, dass \(2<\left(1+\frac{1}{m}\right)^m<3\), unter (vermutlich) Verwendung von \(\left|\left(1+\frac{1}{m}\right)^m-e\right|<\varepsilon\), da stecke ich eben gerade. Wobei stecken schon eine herzhafte Untertreibung ist.


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-26 22:16

Hallo

Ich würde von den lim der Betragsklammer berechnen.

Gruß Caban


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5708
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2020-10-26 22:34
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

2020-10-26 21:01 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:
Ihr denkt ja, ich würde mich entweder dumm stellen oder hätte einfach keine Lust nachzudenken...

Ich hoffe mal schwer, dass das niemand hier denkt. Solche Überforderungssituationen gibt es in einem Studium schon ab und zu, gerade zu Beginn. Das werden die meisten hier also auch schon einmal so ähnlich erlebt haben.

Wichtig ist dabei zunächst, dass man mit sich selbst gut umgeht. In diesem Sinne würde ich dir raten, da erstmal eine Nacht drüber zu schlafen.

2020-10-26 21:01 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:
In der Schule hatte ich überhaupt keine Probleme mit Mathematik, jetzt läuft das Studium seit nicht einmal einem Monat und ich komm mir vor, als wäre mein IQ beinahe halbiert worden.

Verabschiede dich am besten für alle Zeiten von den Arbeitsweisen der Schulmathematik. Dort rechnet man. Jetzt studierst du. Das Verstehen und das Beweisen: diese beiden stehen jetzt im Vordergrund.

2020-10-26 21:01 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:
Wie auch immer.
Ich weiß, dass es ein gewissen \(m\) geben muss. Wie kann ich jedoch diese Information so verarbeiten, dass ich dann zeige, dass \(2<\left(1+\frac{1}{m}\right)^m<3\), unter (vermutlich) Verwendung von \(\left|\left(1+\frac{1}{m}\right)^m-e\right|<\varepsilon\), da stecke ich eben gerade. Wobei stecken schon eine herzhafte Untertreibung ist.

Vielleicht beginnst du einen neuen Anlauf einmal ganz langsam damit, einige Folgenglieder der Folge

\[e_m:=\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\]
zu berechnen. Dann 'erlebst' du mal den bisher abstrakten Sachverhalt. Und dann sehen wir morgen weiter. 🙂

@Caban:
Der Grenzwert ist doch gegeben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
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Herkunft: f(x=0)=1/x
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27 16:24

Ok, also zuerst einmal habe ich mir heute ein paar Folgenglieder aufgeschrieben. Von Index \(m=0\) bis Index \(m=5\). Dabei sehe ich, dass ab dem Index \(m=1\) der Wert größer gleich 2 ist und ab dem Index \(m=2\) größer 2. Der Abstand der Folgenglieder wird selbstverständlich immer kleiner.

Heute hatte ich die Gelegenheit einen Tutor zu fragen, der allerdings nicht direkt was mit dem Beispiel zu tun hatte.
Er meinte, er könnte sich vorstellen, dass ein möglicher Lösungsweg wäre, dass man einfach sagt, dass \(a_n\) innerhalb von 2 und 3 liegt, indem man die Grenzwertdefinition verwendet.
Also, das wäre nicht gerade sonderlich viel, einfach nur das:
\[2<e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{m}\right)^m<e+\varepsilon<3\] Und zwar dann, wenn:
\[\varepsilon<3-e\]

Was sagt ihr dazu?

Liebe Grüße


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5708
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-27 16:29
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-10-27 16:24 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Ok, also zuerst einmal habe ich mir heute ein paar Folgenglieder aufgeschrieben. Von Index \(m=0\) bis Index \(m=5\). Dabei sehe ich, dass ab dem Index \(m=1\) der Wert größer gleich 2 ist und ab dem Index \(m=2\) größer 2. Der Abstand der Folgenglieder wird selbstverständlich immer kleiner.

Heute hatte ich die Gelegenheit einen Tutor zu fragen, der allerdings nicht direkt was mit dem Beispiel zu tun hatte.
Er meinte, er könnte sich vorstellen, dass ein möglicher Lösungsweg wäre, dass man einfach sagt, dass \(a_n\) innerhalb von 2 und 3 liegt, indem man die Grenzwertdefinition verwendet.
Also, das wäre nicht gerade sonderlich viel, einfach nur das:
\[2<e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{m}\right)^m<e+\varepsilon<3\] Und zwar dann, wenn:
\[\varepsilon<3-e\]

Was sagt ihr dazu?


Das ist genau das, auf was ich die ganze Zeit hinauswill. Anstelle von \(\varepsilon\) könnte man auch einen konkreten und hinreichend kleinen Wert verwenden, etwa \(\varepsilon=0.1\). Die Begründung ist in beiden Fällen die gleiche: ab einem gewissen \(m\) liegen alle Glieder in der Epsilon-Umgebung (da die Konvergenz der Folge samt Grenzwert gegeben ist!) und damit im Intervall \((2,3)\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Herkunft: f(x=0)=1/x
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27 16:49

Sehr gut. Danke und liebe Grüße.




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Druckdatum: 2021-01-16 19:06