Forum:  Mengenlehre
Thema: Lemma von Zorn
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Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 10
Themenstart: 2020-10-27 09:51

Da ich nur schon seit einigen Jahren im Beruf bin und Kinder habe, hat mein Gehirn angefangen, den Speicherplatz, der früher mit mathematisch-naturwissenschaftlichen Inhalten sinnvoll belegt war, mit alltäglichen Banalitäten zu überschreiben. Ich habe mich entschieden, das nicht zuzulassen und möchte meine Expertise über die Jahre retten. Ich will auch noch im Rentenalter ganz selbstverständlich von algebraischen Strukturen und Funktionalanalysis sprechen können.

Das klappt aber nur, wenn ich etwas dafür tue. Leider habe ich im persönlichen Umfeld niemanden, mit dem ich korrespondieren kann und höhere Mathematik ist für die meisten Menschen nicht erklärbar. Ich hoffe, hier ein Forum gefunden zu haben, in dem ich meine Fragen zum Thema diskutieren kann.

Ich fange mal klein an und habe mich drangesetzt, die Lineare Algebra von Hans-Joachim Kowalsky (9. Auflage) durchzuarbeiten. Ich schätze das Buch, weil es am Anfang nich unendlich lange mit einführenden Kapiteln für blutige Anfänger nervt. Wenn man im Leben schon zehn Einführungskapitel zu Logik und Mengenlehre gelesen hat, kann man darauf getrost verzichten. Außerdem werden wirklich wichtigen Fragen in solchen Kapiteln ohnehin nicht behandelt.

Das erste, worüber ich im Kowalsky gestolpert bin, ist das Lemma von Zorn. Das hat nostalgische Gefühle geweckt.



Ich erinnere mich, dass dieses Lemma äquivalent zum Auswahlaxiom ist. Kowalsky hat hier wohl eher ein technisches Interesse, da er es nur für den Spezialfall der Mengeninklusion beschreibt. Es ist aber im Allgemeinen für beliebige Halbordnungen gemeint. Ich möchte gerne die Äquivalenz zum Auswahlaxiom zeigen. Kennt jemand eine nicht zu ausufernde Quelle, in der die Äquivalenz gezeigt wird?

Sincerely yours,
No-Face


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27 13:34

Hallo,


Ich möchte gerne die Äquivalenz zum Auswahlaxiom zeigen. Kennt jemand eine nicht zu ausufernde Quelle, in der die Äquivalenz gezeigt wird?

Im Buch "Naive Set Theory" von P.R Halmos ist dies eine Übungsaufgabe mit einem ziemlich detaillierten Hinweis, mit dem sich die Äquivalenz vermutlich recht leicht zeigen lässt.

Das Büchlein hat nur 100 Seiten, ist also sehr schmal. Allerdings wirst du dort wahrscheinlich auch sonst nichts neues finden, besonders wenn du die logischen Grundlagen in anderen Büchern lieber überspringst.
Es ist auch kein klassisches Mathebuch, wenn ich das beurteilen darf.

Der Nachweis der Äquivalenz ist also eher eine Übungsaufgabe als etwas, wofür man sich extra ein Buch zulegt.


Der Hinweis aus besagtem Buch:


Zorn's Lemma is equivalent to the axiom of choice. Hint: For the proof: given a set $X$, consider functions $f$ such that $\operatorname{dom}f\subset\mathcal{P}(X)$, $\operatorname{ran}f\subset X$, and $f(A)\in A$ for all $A$ in $\operatorname{dom}f$; order these functions by extension, use Zorn's lemma to find a maximal one among them, and prove that if $f$ is maximal, then $\operatorname{dom}f=\mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5535
Herkunft: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-27 19:36

Der zitierte Hinweis geht auf den Beweis ZL => AC ein.

Hier ein Beweis von AC => ZL (es gibt zahlreiche andere): Es gelte das Auswahlaxiom. Sei $P$ eine partielle Ordnung, in der jede Kette eine obere Schranke hat. Insbesondere ist $P$ nicht-leer. Angenommen, $P$ hat kein maximales Element. Mit dem Auswahlaxiom finden wir dann einerseits eine Funktion $s$, die jeder Kette eine obere Shcranke zuordnet, und andererseits eine Funktion, die jedem Element $x \in P$ ein Element $x^+ \in P$ mit $x < x^+$ zuordnet (sprich, $x \leq x^+$ und $x \neq x^+$). Definiere nun eine streng monoton wachsende Funktion $f : \mathsf{On} \to P$ auf den Ordinalzahlen mit transfiniter Rekursion durch $f(\alpha) := s(\{f(\beta) : \beta < \alpha\})^+$. Beachte hierbei, dass $\{f(\beta) : \beta < \alpha\}$ eine Kette ist, weil $f$ nach Induktionsannahme auf $\mathsf{On}_{<\alpha}$ monoton wachsend ist, und die Definitionen implizieren $f(\beta) \leq s(\{f(\beta) : \beta < \alpha\}) < f(\alpha)$ für alle $\beta < \alpha$. Dann muss aber $f$ injektiv sein, was ein Widerspruch ist, weil $\mathsf{On}$ keine Menge ist (bzw. weil es dem Satz von Hartogs widerspricht).


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 10
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-31 19:42

Danke für die Hinweise. Ich bin unlängst auch im Algebra-Buch von Serge Lang fündig geworden. Seinen Beweis hat Stefan Kühnlein vom KIT im folgenden Dokument hier dargestellt.




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Druckdatum: 2021-04-10 21:39