Forum:  Stetigkeit
Thema: Mehrdimensionale Funktion auf Stetigkeit testen, Koordinatentransformation?
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NLPDG_Guy
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Themenstart: 2020-10-27 10:05

Guten Morgen in die Runde 🤗

Ich bin gerade bei einer eigentlich recht einfachen Sache zu Gange und bin mir aber nun doch unsicher geworden. Ich habe eine Funktion
\(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}\hspace{2cm}(x,y)\neq (0,0)\\0\hspace{3cm}(x,y)=(0,0)\end{cases}\)
Um diese Funktion auf Stetigkeit zu überprüfen, ist es doch eigentlich legitim, eine Koordinatentransformation in Polarkoordinaten durchzuführen, oder nicht? Wenn ich das tue, dann folgt

\(x=\sin(\phi)\\y=\cos(\phi)\)

und somit

\(f(r,\phi)=\frac{r^2\sin(\phi)\cos(\phi)}{r^2}=\sin(\phi)\cos(\phi)\)

Und diese Funktion ist ja nach bekannten Maßstäben überall wunderbar stetig und im Grenzwert \((r,\phi)\rightarrow (0,0)\) geht die Funktion auch gegen 0.
Aber: Wenn ich die Funktion f nicht transformiere und für x und y die Folge \(x_n=y_n=\frac{1}{n}\) oben einsetze, komme ich im Grenzwert auf \(\frac{1}{2}\).

Wo ist mein Denkfehler? Hat jemand da Input für mich, ich stehe wirklich vor einer Wand...

Vielen Dank schon mal!

Maik


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5700
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27 10:29
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

bei der Koordinatentransformation ist dir ein (Tipp-)Fehler unterlaufen, da fehlt jeweils das \(r\). In der Rechnung selbst hast du es ja drin.

2020-10-27 10:05 - NLPDG_Guy im Themenstart schreibt:
Aber: Wenn ich die Funktion f nicht transformiere und für x und y die Folge \(x_n=y_n=\frac{1}{n}\) oben einsetze, komme ich im Grenzwert auf \(\frac{1}{2}\).

Wo ist mein Denkfehler? Hat jemand da Input für mich, ich stehe wirklich vor einer Wand...

Die Stetigkeit von \(\sin(\phi)\cos(\phi)\) ist ja auch nicht der Punkt, um den es geht. Wenn in deiner Überlegung mit den Polarkoordinaten \(r\) gegen Null geht, müsste ja auch die transformierte Funktion aus jeder Richtung gegen den gleichen Wert streben. Das tut sie aber ganz offensichtlich nicht.

In diesem Zusammenhang ist die folgende Annahme auch falsch:

2020-10-27 10:05 - NLPDG_Guy im Themenstart schreibt:
Und diese Funktion ist ja nach bekannten Maßstäben überall wunderbar stetig und im Grenzwert \((r,\phi)\rightarrow (0,0)\) geht die Funktion auch gegen 0.

Genau das tut sie nicht. Denn der Funktionsterm ist unabhängig von \(r\).

Was wiederum zu deinem Resultat mit den kartesischen Koordinaten passt. Die Funktion (die hier schon oft besprochen wurde 😉) ist somit in \((0,0)\) nicht stetig.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]
\(\endgroup\)

NLPDG_Guy
Aktiv
Dabei seit: 18.05.2018
Mitteilungen: 21
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-27 12:28

Hallo Diophant,

danke für deine Antwort. Dann habe ich das Ganze verstanden. Wenn ich für \(r\rightarrow 0\) auch den Wert Null für die Funktion herausbekommen hätte, dann wäre alles gut gewesen. Aber dadurch, dass noch Terme übrig bleiben, die ja verschiedene Werte für \(\phi\) annehmen können, ist \(f\) dann entsprechend nicht stetig. Tja, es ist so einfach, aber ich hatte Tomaten auf den Augen 🙄

Danke für deine Hilfe!

Maik




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Druckdatum: 2021-01-15 18:57