Forum:  Eigenwerte
Thema: Diagonalisierbarkeit von Potenzen
Themen-Übersicht
X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
Themenstart: 2020-10-27 22:47

Guten Abend zusammen!

Ich versuche gerade, folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei $f \in End(V)$ diagonalisierbar. Zu beweisen ist, dass $f^m$ für alle $m \in \mathbb{N}$ diagonalisierbar ist.

Ich dachte an einen Beweis über Induktion nach m.

Für m = 1 ist dies ja die Voraussetzung.

Gelte also die Behauptung für ein $m \in \mathbb{N}$.

Betrachte $f^{m+1}$ und behaupte, dass $f^{m+1}$ diagonalisierbar ist.
Sei $B$ eine Basis von $V$, sodass $\mathbin{\sideset{_B}{_B}{\mathop{M}}}(f^{m})$ eine Diagonalmatrix ist.
Ferner wissen wir, dass es eine Basis C gibt, sodass $\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)$ eine Diagonalmatrix ist.

Wie könnte man dies nun im Induktionsschritt kombinieren?
Die Matrizen aneinanderhängen funktioniert ja nicht, da die Basen ja in sich nicht konsistent sind?
Und ist die Induktion zielführend?

Wie immer wäre ich euch für jede Hilfe sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 283
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-27 23:57

Hallo X3nion,

2020-10-27 22:47 - X3nion im Themenstart schreibt:
Die Matrizen aneinanderhängen funktioniert ja nicht, da die Basen ja in sich nicht konsistent sind?
Versuch doch mal folgende Aussage induktiv zu beweisen: Für alle \(m\in\mathbb{N}\) ist \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m)\) eine Diagonalmatrix. Damit vermeidest Du die Betrachtung anderer Basen als \(C\). \(C\) ist hierbei wie bei Dir eine Basis, für die \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)\) eine Diagonalmatrix ist.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28 00:52

Hi sonnenschein96 und vielen Dank dir für deinen Tipp.

Sei $C$ eine Basis von $V$, sodass \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)\) eine Diagonalmatrix ist, wobei solch eine Basis nach Voraussetzung existiert.

Nehme nun im Induktionsschritt an, dass \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m)\) eine Diagonalmatrix ist. Mit dem Induktionsanfang ist \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)\) ebenfalls eine Diagonalmatrix. Damit ist \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m)\) \cdot \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)\) = \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m) \circ f\) = \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^{m+1})\) ebenfalls eine Diagonalmatrix.


Hmm ist es wirklich so einfach?
Mir scheint das irgendwie unvollständig.

Viele Grüße,
X3nion


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 283
Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-28 01:09

2020-10-28 00:52 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:
Damit ist \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m)\) \cdot \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)\) = \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m) \circ f\) = \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^{m+1})\) ebenfalls eine Diagonalmatrix.
Du meintest wohl \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m)\cdot\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f) = \mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m \circ f)= \mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^{m+1})\). Das ist korrekt. Da das Produkt der beiden Diagonalmatrizen \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m)\) und \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)\) wieder eine Diagonalmatrix ist, ist also \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^{m+1})\) auch eine Diagonalmatrix.


2020-10-28 00:52 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:
Hmm ist es wirklich so einfach?
Mir scheint das irgendwie unvollständig.
Wieso, was fehlt Dir denn noch?


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28 01:15

Genau den Punkt habe ich nicht ganz verstanden, also wieso man folgern kann, dass das Produkt zweier Diagonalmatrizen wieder eine Diagonalmatrix ist.
Aber das ist ja eigentlich klar, wenn man sich das mal vor Augen führt 🙂


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 283
Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-28 01:37

Achso, ja man kann einfach nachrechnen, dass \[\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n)\cdot\operatorname{diag}(b_1,\ldots,b_n)=\operatorname{diag}(a_1b_1,\ldots,a_nb_n),\] d.h. man muss nur die Diagonaleinträge paarweise multiplizieren.

Aus der Induktion folgt mit \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f)=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\) dann übrigens \(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f^m)=(\mathbin{\sideset{_C}{_C}{\mathop{M}}}(f))^m=\operatorname{diag}(\lambda_1^m,\ldots,\lambda_n^m)\) und damit sind die Eigenwerte von \(f^m\) gerade \(\lambda_1^m,\ldots,\lambda_n^m\), wobei \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) die Eigenwerte von \(f\) sind. (\(n=\operatorname{dim}V\))


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5353
Herkunft: Berlin
Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-28 09:14

Man muss keinen Umweg über Matrizen gehen:

Sei $f$ diagonalisierbar. Das bedeutet, es gibt eine Basis $b_1,\dotsc,b_n$ von $V$ und Skalare $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$ mit $f(b_i) = \lambda_i b_i$. Induktiv folgt nun $f^m(b_i) = \lambda_i^m b_i$: Der Induktionsschritt ist

$f^{m+1}(b_i)=f(f^m(b_i))=f(\lambda_i^m b_i) = \lambda_i^m f(b_i) = \lambda_i^m \lambda_i b_i = \lambda_i^{m+1} b_i$.

Also ist $f^m$ diagonalisierbar.

Übrigens kann man allgemeiner beweisen: sind $f,g : V \to V$ diagonalisierbar mit $f \circ g = g \circ f$, so gibt es eine Basis, bezüglich der $f$ und $g$ beide diagonal sind, woraus wiederum folgt, dass auch $f \circ g$ diagonalisierbar ist.


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 950
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28 17:27

Hey ihr beiden,

vielen Dank für eure Antworten, es ist mir nun klar geworden!
Und auch sehr interessant von dir, @Triceratops, dass nicht der Umweg über Matrizen gegangen werden muss.
Den Beweis zu deiner Aussage werde ich mir ein anderes Mal anschauen, wenn meine Sehnenentzündung an der Hand sich zurückgezogen hat. Momentan mache ich nur die nötigsten Aufgaben.

Viele Grüße,
X3nion




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=250024=3036
Druckdatum: 2021-01-27 08:24