Forum:  Eigenwerte
Thema: Diagonalisierbarkeit im Zusammenhang mit Nilpotenz
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X3nion
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Themenstart: 2020-10-27 23:36

Guten Abend, liebe Community,

über folgende Aufgabe mache ich mir gerade Gedanken:

1. Sei $\mathbb{K}$ ein Körper. Beweise: Wenn $A \in M_{22}(\mathbb{K})$ weder invertierbar noch nilpotent ist, dann ist A diagonalisierbar.

2. Ein Gegenbeispiel dafür ist anzugeben, wenn $A \in M_{nn}(\mathbb{K})$ und $n \ge 3$ ist.


1. Sei $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$
Nun ist es ja so, dass aus der Nicht-Invertierbarkeit von A folgt, dass $det(A) = 0$, also $a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} = 0$.

Es folgt damit $\chi_{A} = det(TI_{2} - A) = (T - a_{11})(T - a_{22}) - a_{12}a_{21} = T^{2} - Ta_{22} - Ta_{11} + a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = T(T - a_{22} - a_{11})$.
Weil A nun ferner nilpotent ist, folgt, dass $\chi_{A} \neq T^{2}$ ist, denn ansonsten wäre A nilpotent. Daraus folgt $-a_{22} - a_{11} \neq 0$.

Damit zerfällt $\chi_{A}$ in Linearfaktoren mit den Eigenwerten $\lambda_{1} = 0$ und $\lambda_{2} \neq 0$ und somit jeweils gleicher algebraischer wie geometrischer Vielfalt, jeweils nämlich 1.
Damit ist A diagonalisierbar.


Wäre 1. so okay?


Zu 2.: Wie könnte ich hierfür ein Gegenbeispiel finden? Also eine 3x3-Matrix mit det(A) = 0 zu kreieren ist jetzt nicht so schwer, aber dafür darüber hinaus eine nicht nilpotente Matrix, so dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist?


Ich wäre euch dankbar, wenn ihr einen Blick drüberwerfen könnntet! 🙂

Viele Grüße,
X3nion


zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-28 00:45

2020-10-27 23:36 - X3nion im Themenstart schreibt:
Zu 2.: Wie könnte ich hierfür ein Gegenbeispiel finden?

Eine invertierbare nicht diagonalisierbare $2\times2$-Matrix lässt sich leicht finden. Diese Matrix ist wegen der Invertierbarkeit auch nicht nilpotent.

Wenn du nun diese Matrix durch eine 0 zu einer blockdiagonalen $3\times3$-Matrix ergänzt, hast du ein passendes Gegenbeispiel.

--zippy


Triceratops
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-28 00:47

1. Ja. :)

2. Finde eine Matrix $A$ mit $\chi_A = T^2(T+1)$ zum Beispiel.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28 17:53

Hallo @zippy und @Triceratops und vielen Dank für eure Tipps!

Wäre dann z.B. die 2x2-Matrix $A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ eine Option? Denn es ist $det(A') \neq 0$ und A' somit invertierbar. Es folgt, dass A' nicht nilpotent ist.
Die 3x3-Blockdiagonalmatrix $A = \begin{pmatrix} A' & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ist damit auch nicht nilpotent. Ferner ist A auch nicht invertierbar, da det(A) = 0.
Das charakteristische Polynom von A ist $\chi_{A} = (T-1)^{2} \cdot T$. Damit sind $\lambda_{1} = 1$ und $\lambda_{2} = 0$ Eigenwerte von A, es ist jedoch $E_{\lambda_{1}} = ker(A - I_{3}) = ker \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \langle \{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\}\rangle$ und damit eindimensional, die algebraische Vielfachheit von $\lambda_{1}$ ist jedoch 2. Es folgt, dass A nicht diagonalisierbar ist.

Und ich konnte keine 3x3-Matrix mit $\chi_{A} = T^{2}(T+1)$ finden. magst du mir ein Beispiel nennen, Triceratops?

Viele Grüße,
X3nion


Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-28 18:07

Man kann die de.wikipedia.org/wiki/Begleitmatrix des Polynoms nehmen.


X3nion
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28 18:39

Hey Triceratops,
das ist interessant, die Matrix kannte ich noch nicht - vielen Dank dir!
Wieso folgt aber in diesem Falle, dass die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ nicht nilpotent ist?

Viele Grüße,
X3nion


Triceratops
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-28 18:41

Nilpotenz kannst du am charakteristischen Polynom ablesen.


X3nion
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-28 19:06

Danke, stimmt! 🙂

Viele Grüße,
X3nion




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Druckdatum: 2021-01-27 08:07