Forum:  Distributionen
Thema: Distribution alternative Definition und Multiplikation
Themen-Übersicht
Celex
Neu
Dabei seit: 16.11.2020
Mitteilungen: 2
Themenstart: 2020-11-16 14:00

Hallo alle zusammen,
ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:



An sich muss ich nur die untere Gleichung beweisen einmal mit der "einfacheren" und einmal mit der "schwierigeren" Definition schön und gut.
Mit der ersten Definition habe ich es denke ich soweit hinbekommen, wenn ich jedoch die zweite Definition ausschreibe komme ich so gar nicht weiter und ich bin gerade ziemlich am Verzweifeln, kann mir jemand weiterhelfen ?

lg Celex


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 343
Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-16 20:18

Hallo Celex,

ohne es jetzt selber nachgerechnet zu haben, würde ich so beginnen:
\[(\delta\cdot f)(g)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\hat{\delta}*\hat{f})(\check{g}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}(\hat{\delta}*\hat{f})(t)\check{g}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}\hat{\delta}(\hat{f}(t-\cdot))\check{g}(t)\,dt.\] Es wird dabei in der Notation einer regulären Distribution nicht zwischen der Distribution und der Funktion, von der sie induziert wird unterschieden. Der nächste Schritt besteht nun also darin, sich zu überlegen, wie die Fourier-Transformation von \(\delta\) aussieht, was direkt mit der Definition ausgerechnet werden kann, da \(\hat{\delta}(h)=\delta(\hat{h})=\hat{h}(0)\) für \(h\in\mathcal{S}\) ist.

Ganz am Ende der Rechnung willst Du natürlich \(f(0)g(0)\) herausbekommen.


Celex
Neu
Dabei seit: 16.11.2020
Mitteilungen: 2
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-16 23:21

Danke auf jeden Fall für die Antwort. Ich probiere mal mein Bestes.

lg




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=250428=81010
Druckdatum: 2021-02-25 00:07