Forum:  Stetigkeit
Thema: Stetigkeit und Wahl des δ
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WagW
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Themenstart: 2020-11-24 22:29

Hallo zusammen,

wir haben in einigen Beweisen bei uns häufiger folgendes Argument:

Sei $f:M\to\mathbb{R}$ eine in Punkt $x_0$ stetige Funktion.

Wir betrachten nun $[x,x_0]\subseteq M$, wobei $|x-x_0|<\delta$ sei. Wir setzen $M:=\sup\{f(y)\mid y\in [x,x_0]\}$ und $m:=\inf\{f(y)\mid y\in [x,x_0]\}$. Sei weiter $A$ irgendein Ausdruck. Dann argumentieren wir, für $x\to x_0$ bzw. $\delta \to 0$ folgt aufgrund der Stetigkeit, dass $A=f(x_0)$. Intuitiv klingt das einleuchtend, also wenn man $x$ ganz nah an $x_0$ dran schiebt, dann muss auch aufgrund der Stetigkeit $f(x)$ an $f(x_0)$ immer dichter dran kommen.

Aber wie folgere ich das Heranrücken von $f(x)$ an $f(x_0)$ mathematisch sauber aus der "normalen" $\epsilon$-$\delta$-Definition für Stetigkeit? Es ist doch eigentlich immer so, dass man erst vorgibt, dass  $f(x)$ und $f(x_0)$ einen bestimmten Abstand haben und die Stetigkeit dann ein entsprechendes $\delta$ garantiert. Andersherum, also dass man aus einem $\delta$ folgert, dass $f(x)$ an $f(x_0)$ beliebig nah heranrückt, da habe ich irgendwie einen Knoten im Knopf?!

viele Grüße
WagW


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1184
Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-24 23:37
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Hallo WagW,

dieses "andersrum" ist eigentlich der ganze Sinn von Stetigkeit: Wenn wir $x$ nur nah genug an $x_0$ wählen, dann können wir $f(x)$ beliebig nah an $f(x_0)$ heranrücken. Vielleicht ist es auch einleuchtender mit einer etwas ausführlicheren Variante der $\varepsilon-\delta$-Definition:

Eine Funktion $f$ ist stetig in $x_0$, wenn man immer ein ausreichend kleines $\delta>0$ findet, sodass der Abstand von $f(x)$ zu $f(x_0)$ garantiert kleiner als ein beliebig klein gewähltes $\varepsilon>0$ ist, solange der Abstand von $x$ zu $x_0$ kleiner als $\delta$ ist.

Oder das ganze ohne Abstände und griechische Buchstaben, rein qualitativ: $f$ ist stetig in $x_0$, wenn $f(x)$ beliebig nah an $f(x_0)$ herangebracht werden kann, indem $x$ nur nah genug an $x_0$ herangerückt wird.

Beliebig nah wird dann zu "Abstand kleiner als beliebig kleines $\varepsilon$", und nah genug wird zu "Abstand kleiner als ausreichend kleines $\delta$".

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 256
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 11:53

Hallo Vercassivelaunos,

wenn ich bspw. mein $\delta$ von sagen wir $0.1$ auf $0.01$ reduziere, dann garantiert mir das nicht, dass sich auch die maximale Differenz zwischen $f(x)$ und $f(x_0)$ für ein $x$ mit $|x-x_0|<0.01$ reduziert. Theoretisch könnte es passieren, dass die maximale Differenz einfach gleich bleibt. Die Stetigkeit garantiert mir nur die Existenz irgendeines $\delta'$, was dann ziemlich klein sein kann, welches dafür sorgt dass die Differenz zwischen $f(x)$ und $f(x_0)$ für ein $x$ weiter schrumpft.

Kann man das so sagen?

viele Grüße
WagW


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1184
Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-25 12:43
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Ja, das ist schon richtig. Du kannst nicht einfach vorher ein festes $\delta$ wählen. Du musst erst rausfinden, wie nah "nah genug" ist, und dein $\delta$ entsprechend wählen.
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-02-26 01:05