Forum:  Vektorräume
Thema: B(AC)-C(AB)
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timebirts
Junior
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 11
Themenstart: 2020-11-25 01:12

Hallo liebe Forengemeinde,


mir stellt sich bei bei der Herleitung der Formel für das doppelte Kreuzprodukt folgende Frage.

Wenn ich ax(bxc) in Summenschreibweise in Verbindung mit den E-Tensoren ausschreibe, habe ich in meinem zusammengefassten Produkt zwei Einheitsvektoren. Also die Richtungen des inneren bzw. äußeren Kreuzproduktes. Die Indizes dieser beiden Vektoren müssen gleich sein, da sonst das Produkt der beiden Vektoren 0 ergäbe. Da wir zwei Indizes gleich setzen, wird nun aber auch der eine E-Tensor 0.

Herleitungen im Internet lassen die Einheitsvektoren einfach weg, weshalb sich das beschriebene Problem auch nicht ergibt. Wenn ich sie ignoriere funktioniert auch alles super.

Mir ist nicht ganz klar, warum ich diese eben ignorieren darf🤯    


Schonmal vielen Dank im Vorraus :)
Viele Grüße


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1925
Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-25 07:15

2020-11-25 01:12 - timebirts im Themenstart schreibt:
Da wir zwei Indizes gleich setzen, wird nun aber auch der eine E-Tensor 0.

Die zwei Indizes, die gleichgesetzt werden, hängen aber nicht am selben $\varepsilon$-Symbol:$$ \mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c) =
\mathbf a\times(\varepsilon_{ijk}\,\mathbf e_i\,b_j\,c_k) =
\varepsilon_{pqr}\,\mathbf e_p\,a_q\,
(\varepsilon_{ijk}\,\mathbf e_i\,b_j\,c_k)_r =
\varepsilon_{pq\color{red}r}\,\mathbf e_p\,a_q\,
\varepsilon_{\color{red}ijk}\,
\delta_{\color{red}{ir}}\,b_j\,c_k$$--zippy


timebirts
Junior
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 11
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-25 23:44

Bis zum dritten Schritt ist mir alles klar.

Doch warum darf bzw. muss ich den Index r der Klammer einfach als Einheitsvektor mit Index r umschreiben? (bzw dann in \(\delta_{ir}\))

Verwirren tut mich vor allem der Punkt, warum ich drei Vektoren bei zwei Kreuzprodukten heraus bekomme😵

Viele Grüße


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1925
Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-26 00:14

2020-11-25 23:44 - timebirts in Beitrag No. 2 schreibt:
Doch warum darf bzw. muss ich den Index r der Klammer einfach als Einheitsvektor mit Index r umschreiben? (bzw dann in \(\delta_{ir}\))

$(\varepsilon_{ijk}\,\mathbf e_i\,b_j\,c_k)_r$ ist die $r$-te Komponente des Vektors $\varepsilon_{ijk}\,\mathbf e_i\,b_j\,c_k$. Da dieser Ausdruck bis auf den Einheitsvektor $\mathbf e_i$ nur aus Skalaren besteht, erhält man die  $r$-te Komponente des gesamten Ausdrucks, indem man die $r$-te Komponente dieses Einheitsvektors nimmt:$$ (\varepsilon_{ijk}\,\mathbf e_i\,b_j\,c_k)_r =
\varepsilon_{ijk}\,(\mathbf e_i)_r\,b_j\,c_k =
\varepsilon_{ijk}\,\delta_{ir}\,b_j\,c_k
$$Dabei wurde im letzten Schritt ausgenutzt, dass $r$-te Komponente des $i$-ten Standardeinheitsvektors $\delta_{ir}$ ist.


timebirts
Junior
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 11
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26 11:10

Ui ich habe missachtet, dass der Klammerterm die r-te Komponente eines Vektors darstellt...

Vielen vielen Dank :)


Liebe Grüße




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Druckdatum: 2021-03-09 05:46