Forum:  Eigenwerte
Thema: Eigenwerte abschätzen
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Huhoha
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Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 30
Themenstart: 2020-11-25 23:58

Hallo zusammen,

um eine Ausage über die Konvergenz einer Folge muss ich eine Abschätzung der Eigenwerte der Block-Matrix

\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} \]
mit \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) positiv definit und \(B \in \mathbb{R}^{m\times n} \) mit vollen Rang \(m\). Dabei sind \(\alpha\) und \(\beta\) wählbare Parameter.

Hat jemand Ideen, wie ich so ein Problem der Abschätzung von EW angehen könnte?

Viele Grüße!


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-26 09:47

Hallo,

kannst du deine Frage etwas präziser stellen? Was genau weißt du denn über $A,B,\alpha,\beta$?

Vielleicht ist die Determinante auch die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ oder $\alpha\beta BB^T$?


Huhoha
Aktiv
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 30
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26 13:46

Hallo,

ich weiß nur, dass \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) und dass die Matrix \(A\) positiv definit und symmetrisch (und damit invertierbar) ist und die Matrix \(B\) vollen Rang m hat (m < n).

2020-11-26 09:47 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:

Vielleicht ist die Determinante auch die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ oder $\alpha\beta BB^T$?

Die Determinante von $\alpha\beta BB^T$ ist ja auf jeden Fall Null (da $BB^T$ singulär ist). Die Determinante von $\alpha\beta B^TB$ scheint nicht das richtige Ergebnis zu liefern.

Viele Grüße und trotzdem Danke!


Huhoha
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Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 30
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26 17:21

Ich bin selber etwas weitergekommen:

Man kann die Matrix folgendermaßen umschreiben

\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \frac{\beta}{\alpha} B A^{-1} & I  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ 0 & -\beta B A^{-1}B^T  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & A^{-1} B^T \\ 0 & I  \end{pmatrix} \].

Wäre der Term $\frac{\beta}{\alpha}$ im Eintrag 2,1 der ersten Matrix nicht da, hätte ich ja eine Form $N^T M N$ vorliegen und mit der wahl $\alpha > 0, \beta < 0$ wäre die Matrix $M$ positiv definit und würde ja nach der Multiplication mit N von recht und links positiv definit bleiben.

Ich habe aber nicht ganz die Form $N^T M N$ wegen dem einen Term... Kann mir da jemand helfen?

Viele Grüße



ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-26 17:38

Hallo,

was genau hast du denn vor? Kannst du deine Frage bitte noch einmal anders stellen? Oder wie lautet die originale Aufgabenstellung?


Huhoha
Aktiv
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 30
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-26 23:36

Hallo,

ich will eigentlich nur die Eigenwerte der Matrix $M$ mit

\[M = \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} \]
berechnen, oder zumindest eine Abschätzung des größten und kleinsten Eigenwerts machen. Ich will also sowas wie

\[ \underline{\lambda} I \leq M \leq \bar{\lambda} I \]
brechenen, wenn $\underline{\lambda}$ und $\bar{\lambda}$ eine untere bzw. obere Grenze für die Eigenwerte darstellen. Ideal wäre das, wenn ich das in Abhängigkeit von $\alpha$ und $\beta$ hinschreiben kann. Das ist keine vorgegebene Aufgabenstellung, ich bin wegen einem Optimierungsproblem darüber gestolpert und wollte es dann lösen.

Tatsächlich habe ich nun herausgefunden, dass die Matrix $M$ positiv definit ist, wenn ich $\beta < 0$ und $\alpha>0$ wähle. Ich hätte also nun schonmal $\lambda_1 = 0$ in der oberen Gleichung. Dies folgt daraus, dass man $M$ als

\[ \begin{pmatrix} \alpha A & \alpha B^T \\ \beta B & 0  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0 \\ B A^{-1} & I  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ (\beta - \alpha)B & -\beta B A^{-1}B^T  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & A^{-1} B^T \\ 0 & I  \end{pmatrix} \]
schreiben kann. Da die Matrix

$$\begin{pmatrix} \alpha A & 0 \\ (\beta - \alpha)B & -\beta B A^{-1}B^T  \end{pmatrix} $$
wegen den vollen Rang von $B$ für $\beta < 0$ und $\alpha>0$ positiv definit ist.

Nun hänge ich am nächsten Problem: Kann ich eine obere Grenze für die Eigenwerte von $M$ angeben? Hat jemand Ideen?

Viele Grüße und schonmal vielen Dank!







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Druckdatum: 2021-02-27 14:14