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Thema: Lemma zur Klassengleichung mit Konjugationsklassen
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Phoensie
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Themenstart: 2020-11-27 14:03
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Liebe Matheplanetarier

Sei $G$ eine Gruppe und $a \in G$ ein Element.
Definition: Konjugationsklasse: $C(a)=\{g^{-1}ag \mid g \in G\}$
Definition: Zentralisator: $Z(a)=\{g \in G \mid ga = ag\}$
Definition: Der Index $[G:H]$ einer Untergruppe $H < G$ sei die Anzahl Linksnebenklassen von $H$ in $G$ (d.h. die Anzahl Elemente der Menge $G/H$)


Aufgabe: Zeige $\ord(C(a)) = \big[G : Z(a) \big]$.

Habt ihr eine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen könnte (bzw. welche "Werkzeuge" ich anwenden muss)?

LG Phoensie
\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27 14:25

Deine Definition der Konjugationsklasse ist falsch.

Du kannst die richtige Definition überall nachschlagen.

Zum Beweis der Gleichung verwende die Bahnformel, die für beliebige Gruppenwirkungen gilt. Es wirkt ja G auf G durch Konjugation.


Phoensie
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27 15:23

Ach ja, habe ich falsch geschrieben (Reihenfolge ...🙃). Ist jetzt korrigiert. Ich versuche das mal und melde mich wieder, wenn ich Resultate hab.😁
Gruss Phoensie


Phoensie
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02 17:30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Für jedes $a \in G$ ist der Zentralisator $Z(a)$ eine Untergruppe von $G$ (Beweis hier). Bezüglich der Linkskonjugation von $G$ auf sich selbst (notiert als Binäroperator $\star$)
\[
    \begin{align*}
        \forall g,x \in G: g \star x := g^{-1}xg
    \end{align*}
\] haben die Konjugationsklasse und der Zentralisator von $a \in G$ die Form
\[
    \begin{align*}
        C(a) &= \{g \star a \mid g \in G\} \\
        Z(a) &= \{g \in G \mid g \star a = a\}
    \end{align*}
\] $\ord(C(a))$ ist dann die Länge der Bahn von $a \in G$ bezüglich der Linkskonjugation und $Z(a)$ ist der Stabilisator von $a \in G$ bezüglich der Linkskonjugation. Die Bahnformel verrät uns dann die Behauptung,
\[
    \begin{align*}
        \ord(C(a)) = [G:\operatorname{Stab}_a(G)] = [G:Z(a)].
    \end{align*}
\]
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-03-09 05:03