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Thema: Grenzwert von n!^(1/n)/n für n gegen Unendlich
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Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
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Themenstart: 2020-11-29 20:59
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, ich würde gerne den Grenzwert von \(\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n!}{n^n}}\) zeigen und zwar mittels Wurzelkriterium.
Ich hab es bereits mittels Quotientenkriterium gezeigt und weiß daher, dass der Grenzwert \(\frac{1}{e}\) entspricht.

Hier meine Lösung mittels Quotientenkriterium:

Beim Wurzelkriterium weiß ich jedoch nicht, wie ich nach \(\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}\) fortfahren soll.

Ich habe auch schon im Internet geschaut und zum Beispiel das hier oder das hier gefunden, aber nicht verstanden.

Könnt ihr mir hierbei weiterhelfen?

LG
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29 21:07
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

hier wird nicht wirklich klar, um was es dir geht.

Es ist \(\ds\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}=0\), aber deine Rechnungen oben haben damit nichts zu tun.

Ich vermute, es geht dir um die unendliche Reihe

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\]
?

Dabei könnte man die obige Überlegung für die Frage heranziehen, ob diese Reihe konvergiert.

Mit dem Grenzwert dieser Reihe hat die Rechnung dann aber wiederum nichts zu tun.

Um was geht es also?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Herkunft: f(x=0)=1/x
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29 21:14
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)


Das ist die Angabe.

Ich möchte also den Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen, mittels Quotientenkriterium und Wurzelkriterium.
Mittels Quotientenkriterium ist eben das Bild.
Und wenn man es mittels Wurzelkriterium macht, kommt man recht früh auf \(\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}\). Und hierbei möchte ich eben den Grenzwert ausrechnen.

Tut mir Leid, sollte ich das vorhin falsch rüber gebracht haben.

LG
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6189
Herkunft: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-29 21:27
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ok, das ist doch etwas völlig anderes.

Du solltest dir angewöhnen, die Aufgaben genauer durchzulesen. So eine Aufgabe ist meist nicht einfach so dahinformuliert, wie es dem Autor gerade in den Sinn gekommen ist. Sondern oft steckt schon in der Reihenfolge der eine oder andere Hinweis.

So sollst du den Konvergenzradius ausdrücklich per Quotientenkriterium berechnen. Das hast du probiert, aber der Versuch ist falsch. Siehe dazu die entsprechende Wikipedia-Seite.

Insbesondere ist

\[r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\]
Also genau andersherum als in deiner Rechnung (du hast das mit dem Quotientenkriterium für Reihen verwechselt, auf dem dieser Ansatz aber natürlich aufbaut).

Glücklicherweise steht der korrekte Konvergenzradius in der Rechnung trotzdem an einer Stelle schon da, aber das ist hier wohl eher eine Art "Betriebsunfall". 😉

Von einer Berechnung des Konvergenzradius per Wurzelkriterium steht da nichts. Würde man das machen, müsste natürlich das gleiche Resultat herauskommen. Also kannst du den Ansatz per Wurzelkriterium mit dem jetzt bekannten Konvergenzradius gleichsetzen und nach ein wenig umformen steht der zu zeigende Grenzwert da.

Wie gesagt: du hast hier die Aufgabe bisher gründlich missverstanden.


Gruß, Diophant


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Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29 22:05
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Oh ja, du das Recht, das habe ich echt missverstanden.
Der Konvergenzradius ist folglich \(e\) und die Folgerung dann \(1/e\), weil es ja einfach der Reziprokwert des Konvergenzradius ist.


Vielen Dank für die Hilfe
😃

Liebe Grüße
Spedex
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Druckdatum: 2021-03-09 04:57